Theorem cnmpt2plusg

Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f which cannot be used directly because +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	tgpcn.j	⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
	cnmpt1plusg.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
	cnmpt1plusg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd )
	cnmpt1plusg.k	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
	cnmpt2plusg.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) )
	cnmpt2plusg.a	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )
	cnmpt2plusg.b	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )
Assertion	cnmpt2plusg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpcn.j	⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 )
2		cnmpt1plusg.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
3		cnmpt1plusg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd )
4		cnmpt1plusg.k	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
5		cnmpt2plusg.l	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) )
6		cnmpt2plusg.a	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )
7		cnmpt2plusg.b	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )
8		txtopon	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐿 ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) → ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) )
9	4 5 8	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) )
10		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ 𝐺 )
11	1 10	tmdtopon	⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) )
12	3 11	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) )
13		cnf2	⊢ ( ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) ∧ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
14	9 12 6 13	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
15		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 )
16	15	fmpo	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
17	14 16	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
18	17	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
19	18	r19.21bi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
20	19	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
21		cnf2	⊢ ( ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) ∈ ( TopOn ‘ ( 𝑋 × 𝑌 ) ) ∧ 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ ( Base ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
22	9 12 7 21	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
23		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 )
24	23	fmpo	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵 ) : ( 𝑋 × 𝑌 ) ⟶ ( Base ‘ 𝐺 ) )
25	22 24	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
26	25	r19.21bi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
27	26	r19.21bi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
28	27	3impa	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) )
29		eqid	⊢ ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) = ( +𝑓 ‘ 𝐺 )
30	10 2 29	plusfval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝐵 ∈ ( Base ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐴 ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
31	20 28 30	syl2anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) → ( 𝐴 ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) )
32	31	mpoeq3dva	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ( 𝐴 ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) )
33	1 29	tmdcn	⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) )
34	3 33	syl	⊢ ( 𝜑 → ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) ∈ ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) Cn 𝐽 ) )
35	4 5 6 7 34	cnmpt22f	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ( 𝐴 ( +𝑓 ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )
36	32 35	eqeltrrd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ∈ ( ( 𝐾 ×t 𝐿 ) Cn 𝐽 ) )