Theorem cnvtsr

Description: The converse of a toset is a toset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015)

	Ref	Expression
Assertion	cnvtsr	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ◡ 𝑅 ∈ TosetRel )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsrps	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel )
2		cnvps	⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ◡ 𝑅 ∈ PosetRel )
3	1 2	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ◡ 𝑅 ∈ PosetRel )
4		eqid	⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
5	4	istsr	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel ↔ ( 𝑅 ∈ PosetRel ∧ ( dom 𝑅 × dom 𝑅 ) ⊆ ( 𝑅 ∪ ◡ 𝑅 ) ) )
6	5	simprbi	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ( dom 𝑅 × dom 𝑅 ) ⊆ ( 𝑅 ∪ ◡ 𝑅 ) )
7	4	psrn	⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ran 𝑅 )
8	1 7	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → dom 𝑅 = ran 𝑅 )
9	8	sqxpeqd	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ( dom 𝑅 × dom 𝑅 ) = ( ran 𝑅 × ran 𝑅 ) )
10		psrel	⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → Rel 𝑅 )
11	1 10	syl	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → Rel 𝑅 )
12		dfrel2	⊢ ( Rel 𝑅 ↔ ◡ ◡ 𝑅 = 𝑅 )
13	11 12	sylib	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ◡ ◡ 𝑅 = 𝑅 )
14	13	uneq2d	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ( ◡ 𝑅 ∪ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( ◡ 𝑅 ∪ 𝑅 ) )
15		uncom	⊢ ( ◡ 𝑅 ∪ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∪ ◡ 𝑅 )
16	14 15	eqtr2di	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ( 𝑅 ∪ ◡ 𝑅 ) = ( ◡ 𝑅 ∪ ◡ ◡ 𝑅 ) )
17	6 9 16	3sstr3d	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ( ran 𝑅 × ran 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∪ ◡ ◡ 𝑅 ) )
18		df-rn	⊢ ran 𝑅 = dom ◡ 𝑅
19	18	istsr	⊢ ( ◡ 𝑅 ∈ TosetRel ↔ ( ◡ 𝑅 ∈ PosetRel ∧ ( ran 𝑅 × ran 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∪ ◡ ◡ 𝑅 ) ) )
20	3 17 19	sylanbrc	⊢ ( 𝑅 ∈ TosetRel → ◡ 𝑅 ∈ TosetRel )