Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relcnv |
⊢ Rel ◡ 𝑅 |
2 |
1
|
a1i |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → Rel ◡ 𝑅 ) |
3 |
|
cnvco |
⊢ ◡ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) = ( ◡ 𝑅 ∘ ◡ 𝑅 ) |
4 |
|
pstr2 |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) |
5 |
|
cnvss |
⊢ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 → ◡ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ ◡ 𝑅 ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ◡ ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ ◡ 𝑅 ) |
7 |
3 6
|
eqsstrrid |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ◡ 𝑅 ∘ ◡ 𝑅 ) ⊆ ◡ 𝑅 ) |
8 |
|
psrel |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → Rel 𝑅 ) |
9 |
|
dfrel2 |
⊢ ( Rel 𝑅 ↔ ◡ ◡ 𝑅 = 𝑅 ) |
10 |
8 9
|
sylib |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ◡ ◡ 𝑅 = 𝑅 ) |
11 |
10
|
ineq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ◡ 𝑅 ∩ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( ◡ 𝑅 ∩ 𝑅 ) ) |
12 |
|
incom |
⊢ ( ◡ 𝑅 ∩ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) |
13 |
11 12
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ◡ 𝑅 ∩ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ) |
14 |
|
psref2 |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅 ) ) |
15 |
|
relcnvfld |
⊢ ( Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) |
16 |
8 15
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ∪ ∪ 𝑅 = ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) |
17 |
16
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅 ) = ( I ↾ ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) ) |
18 |
13 14 17
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ◡ 𝑅 ∩ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( I ↾ ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) ) |
19 |
|
cnvexg |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ◡ 𝑅 ∈ V ) |
20 |
|
isps |
⊢ ( ◡ 𝑅 ∈ V → ( ◡ 𝑅 ∈ PosetRel ↔ ( Rel ◡ 𝑅 ∧ ( ◡ 𝑅 ∘ ◡ 𝑅 ) ⊆ ◡ 𝑅 ∧ ( ◡ 𝑅 ∩ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( I ↾ ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) ) ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ( ◡ 𝑅 ∈ PosetRel ↔ ( Rel ◡ 𝑅 ∧ ( ◡ 𝑅 ∘ ◡ 𝑅 ) ⊆ ◡ 𝑅 ∧ ( ◡ 𝑅 ∩ ◡ ◡ 𝑅 ) = ( I ↾ ∪ ∪ ◡ 𝑅 ) ) ) ) |
22 |
2 7 18 21
|
mpbir3and |
⊢ ( 𝑅 ∈ PosetRel → ◡ 𝑅 ∈ PosetRel ) |