Metamath Proof Explorer

Theorem cnvunop

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in AkhiezerGlazman p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion cnvunop ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก ๐‘‡ โˆˆ UniOp )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 unopf1o โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ )
2 f1ocnv โŠข ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ )
3 f1ofo โŠข ( โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“ontoโ†’ โ„‹ )
4 2 3 syl โŠข ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“ontoโ†’ โ„‹ )
5 1 4 syl โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“ontoโ†’ โ„‹ )
6 simpl โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ UniOp )
7 fof โŠข ( โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“ontoโ†’ โ„‹ โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โŸถ โ„‹ )
8 5 7 syl โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โŸถ โ„‹ )
9 8 ffvelcdmda โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) โˆˆ โ„‹ )
10 9 adantrr โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) โˆˆ โ„‹ )
11 8 ffvelcdmda โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) โˆˆ โ„‹ )
12 11 adantrl โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) โˆˆ โ„‹ )
13 unop โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) โˆˆ โ„‹ โˆง ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ยทih ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) ) = ( ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ยทih ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) )
14 6 10 12 13 syl3anc โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ยทih ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) ) = ( ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ยทih ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) )
15 f1ocnvfv2 โŠข ( ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) = ๐‘ฅ )
16 15 adantrr โŠข ( ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) = ๐‘ฅ )
17 f1ocnvfv2 โŠข ( ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) = ๐‘ฆ )
18 17 adantrl โŠข ( ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) = ๐‘ฆ )
19 16 18 oveq12d โŠข ( ( ๐‘‡ : โ„‹ โ€“1-1-ontoโ†’ โ„‹ โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ยทih ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) ) = ( ๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ ) )
20 1 19 sylan โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ) ยทih ( ๐‘‡ โ€˜ ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) ) = ( ๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ ) )
21 14 20 eqtr3d โŠข ( ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โˆง ( ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ยทih ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) = ( ๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ ) )
22 21 ralrimivva โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ( ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ยทih ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) = ( ๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ ) )
23 elunop โŠข ( โ—ก ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†” ( โ—ก ๐‘‡ : โ„‹ โ€“ontoโ†’ โ„‹ โˆง โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ ( ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฅ ) ยทih ( โ—ก ๐‘‡ โ€˜ ๐‘ฆ ) ) = ( ๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ ) ) )
24 5 22 23 sylanbrc โŠข ( ๐‘‡ โˆˆ UniOp โ†’ โ—ก ๐‘‡ โˆˆ UniOp )