Theorem colinearperm1

Description: Permutation law for colinearity. Part of theorem 4.11 of Schwabhauser p. 36. (Contributed by Scott Fenton, 5-Oct-2013)

	Ref	Expression
Assertion	colinearperm1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Colinear ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ 𝐴 Colinear ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwncom	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) )
2		3anrot	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
3		btwncom	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
4	2 3	sylan2b	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
5		3anrot	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
6		btwncom	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ) )
7	5 6	sylan2br	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ) )
8	1 4 7	3orbi123d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ ) ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ) ) )
9		3orcomb	⊢ ( ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ) ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
10	8 9	bitrdi	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ ) ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
11		brcolinear	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Colinear ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐵 ⟩ ) ) )
12		3ancomb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
13		brcolinear	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Colinear ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
14	12 13	sylan2b	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Colinear ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ↔ ( 𝐴 Btwn ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐴 ⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
15	10 11 14	3bitr4d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Colinear ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ↔ 𝐴 Colinear ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) )