Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dalem.ph |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) ) |
2 |
|
dalem.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
dalem.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
dalem.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
dalem.ps |
⊢ ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ ( 𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑐 ∨ 𝑑 ) ) ) ) |
6 |
|
dalem54.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
dalem54.o |
⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 ) |
8 |
|
dalem54.y |
⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) |
9 |
|
dalem54.z |
⊢ 𝑍 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) |
10 |
|
dalem54.g |
⊢ 𝐺 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) |
11 |
|
dalem54.h |
⊢ 𝐻 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ) |
12 |
|
dalem54.i |
⊢ 𝐼 = ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ) |
13 |
|
dalem54.b1 |
⊢ 𝐵 = ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) |
14 |
1 2 3 4
|
dalemswapyz |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ) |
16 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑌 = 𝑍 ) |
17 |
16
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑍 = 𝑌 ) |
18 |
1 2 3 4 5
|
dalemswapyzps |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ) |
19 |
|
biid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ) |
20 |
|
biid |
⊢ ( ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) |
23 |
|
eqid |
⊢ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) |
25 |
19 2 3 4 20 6 7 9 8 21 22 23 24
|
dalem55 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝑂 ∧ 𝑌 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑅 ) ) ) ) ∧ 𝑍 = 𝑌 ∧ ( ( 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑍 ∧ ( 𝑐 ≠ 𝑑 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑍 ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑑 ∨ 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) ) |
26 |
15 17 18 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) ) |
27 |
1
|
dalemkelat |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Lat ) |
28 |
27
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
29 |
1
|
dalemkehl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL ) |
30 |
29
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
31 |
5
|
dalemccea |
⊢ ( 𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴 ) |
32 |
31
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑐 ∈ 𝐴 ) |
33 |
1
|
dalempea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
34 |
33
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
36 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
37 |
30 32 34 36
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
38 |
5
|
dalemddea |
⊢ ( 𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴 ) |
39 |
38
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑑 ∈ 𝐴 ) |
40 |
1
|
dalemsea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
41 |
40
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
42 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
43 |
30 39 41 42
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
44 |
35 6
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ) |
45 |
28 37 43 44
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ) |
46 |
10 45
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐺 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ) |
47 |
1
|
dalemqea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
48 |
47
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
49 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
50 |
30 32 48 49
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
51 |
1
|
dalemtea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
52 |
51
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
53 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
54 |
30 39 52 53
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
55 |
35 6
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) |
56 |
28 50 54 55
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) |
57 |
11 56
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐻 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) |
58 |
46 57
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) = ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) |
60 |
1
|
dalemrea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
61 |
60
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
62 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
63 |
30 32 61 62
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
64 |
1
|
dalemuea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴 ) |
65 |
64
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝑈 ∈ 𝐴 ) |
66 |
35 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
67 |
30 39 65 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
68 |
35 6
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) |
69 |
28 63 67 68
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) |
70 |
12 69
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐼 = ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) |
71 |
58 70
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ) |
72 |
71 16
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∨ 𝐼 ) ∧ 𝑌 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) |
73 |
13 72
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → 𝐵 = ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) |
74 |
58 73
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑃 ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑄 ) ) ) ∨ ( ( 𝑑 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑐 ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ 𝑍 ) ) ) |
75 |
26 59 74
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) = ( ( 𝐺 ∨ 𝐻 ) ∧ 𝐵 ) ) |