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Theorem dalem56

Description: Lemma for dath . Analogue of dalem55 for line S T . (Contributed by NM, 8-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
dalem54.m = ( meet ‘ 𝐾 )
dalem54.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalem54.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
dalem54.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
dalem54.g 𝐺 = ( ( 𝑐 𝑃 ) ( 𝑑 𝑆 ) )
dalem54.h 𝐻 = ( ( 𝑐 𝑄 ) ( 𝑑 𝑇 ) )
dalem54.i 𝐼 = ( ( 𝑐 𝑅 ) ( 𝑑 𝑈 ) )
dalem54.b1 𝐵 = ( ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐼 ) 𝑌 )
Assertion dalem56 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝐺 𝐻 ) ( 𝑆 𝑇 ) ) = ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
6 dalem54.m = ( meet ‘ 𝐾 )
7 dalem54.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
8 dalem54.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
9 dalem54.z 𝑍 = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 )
10 dalem54.g 𝐺 = ( ( 𝑐 𝑃 ) ( 𝑑 𝑆 ) )
11 dalem54.h 𝐻 = ( ( 𝑐 𝑄 ) ( 𝑑 𝑇 ) )
12 dalem54.i 𝐼 = ( ( 𝑐 𝑅 ) ( 𝑑 𝑈 ) )
13 dalem54.b1 𝐵 = ( ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐼 ) 𝑌 )
14 1 2 3 4 dalemswapyz ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍𝑂𝑌𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑆 𝑃 ) ∧ 𝐶 ( 𝑇 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑈 𝑅 ) ) ) ) )
15 14 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍𝑂𝑌𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑆 𝑃 ) ∧ 𝐶 ( 𝑇 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑈 𝑅 ) ) ) ) )
16 simp2 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑌 = 𝑍 )
17 16 eqcomd ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑍 = 𝑌 )
18 1 2 3 4 5 dalemswapyzps ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑑𝐴𝑐𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 𝑍 ∧ ( 𝑐𝑑 ∧ ¬ 𝑐 𝑍𝐶 ( 𝑑 𝑐 ) ) ) )
19 biid ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍𝑂𝑌𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑆 𝑃 ) ∧ 𝐶 ( 𝑇 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑈 𝑅 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍𝑂𝑌𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑆 𝑃 ) ∧ 𝐶 ( 𝑇 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑈 𝑅 ) ) ) ) )
20 biid ( ( ( 𝑑𝐴𝑐𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 𝑍 ∧ ( 𝑐𝑑 ∧ ¬ 𝑐 𝑍𝐶 ( 𝑑 𝑐 ) ) ) ↔ ( ( 𝑑𝐴𝑐𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 𝑍 ∧ ( 𝑐𝑑 ∧ ¬ 𝑐 𝑍𝐶 ( 𝑑 𝑐 ) ) ) )
21 eqid ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) = ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) )
22 eqid ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) = ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) )
23 eqid ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) = ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) )
24 eqid ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 )
25 19 2 3 4 20 6 7 9 8 21 22 23 24 dalem55 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ) ∧ ( 𝑍𝑂𝑌𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑆 𝑃 ) ∧ 𝐶 ( 𝑇 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑈 𝑅 ) ) ) ) ∧ 𝑍 = 𝑌 ∧ ( ( 𝑑𝐴𝑐𝐴 ) ∧ ¬ 𝑑 𝑍 ∧ ( 𝑐𝑑 ∧ ¬ 𝑐 𝑍𝐶 ( 𝑑 𝑐 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( 𝑆 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) ) )
26 15 17 18 25 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( 𝑆 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) ) )
27 1 dalemkelat ( 𝜑𝐾 ∈ Lat )
28 27 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐾 ∈ Lat )
29 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
30 29 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
31 5 dalemccea ( 𝜓𝑐𝐴 )
32 31 3ad2ant3 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑐𝐴 )
33 1 dalempea ( 𝜑𝑃𝐴 )
34 33 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑃𝐴 )
35 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
36 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴 ) → ( 𝑐 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
37 30 32 34 36 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑐 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
38 5 dalemddea ( 𝜓𝑑𝐴 )
39 38 3ad2ant3 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑑𝐴 )
40 1 dalemsea ( 𝜑𝑆𝐴 )
41 40 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑆𝐴 )
42 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴 ) → ( 𝑑 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 30 39 41 42 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑑 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 35 6 latmcom ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 𝑃 ) ( 𝑑 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) )
45 28 37 43 44 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑃 ) ( 𝑑 𝑆 ) ) = ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) )
46 10 45 syl5eq ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐺 = ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) )
47 1 dalemqea ( 𝜑𝑄𝐴 )
48 47 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑄𝐴 )
49 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑄𝐴 ) → ( 𝑐 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 30 32 48 49 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑐 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 1 dalemtea ( 𝜑𝑇𝐴 )
52 51 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑇𝐴 )
53 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑇𝐴 ) → ( 𝑑 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 30 39 52 53 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑑 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
55 35 6 latmcom ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 𝑄 ) ( 𝑑 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) )
56 28 50 54 55 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑄 ) ( 𝑑 𝑇 ) ) = ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) )
57 11 56 syl5eq ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐻 = ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) )
58 46 57 oveq12d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝐺 𝐻 ) = ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) )
59 58 oveq1d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝐺 𝐻 ) ( 𝑆 𝑇 ) ) = ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( 𝑆 𝑇 ) ) )
60 1 dalemrea ( 𝜑𝑅𝐴 )
61 60 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑅𝐴 )
62 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑅𝐴 ) → ( 𝑐 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
63 30 32 61 62 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑐 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
64 1 dalemuea ( 𝜑𝑈𝐴 )
65 64 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝑈𝐴 )
66 35 3 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑈𝐴 ) → ( 𝑑 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
67 30 39 65 66 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( 𝑑 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
68 35 6 latmcom ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑐 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑑 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑐 𝑅 ) ( 𝑑 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) )
69 28 63 67 68 syl3anc ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝑐 𝑅 ) ( 𝑑 𝑈 ) ) = ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) )
70 12 69 syl5eq ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐼 = ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) )
71 58 70 oveq12d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐼 ) = ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) )
72 71 16 oveq12d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐼 ) 𝑌 ) = ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) )
73 13 72 syl5eq ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → 𝐵 = ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) )
74 58 73 oveq12d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐵 ) = ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( ( ( ( 𝑑 𝑆 ) ( 𝑐 𝑃 ) ) ( ( 𝑑 𝑇 ) ( 𝑐 𝑄 ) ) ) ( ( 𝑑 𝑈 ) ( 𝑐 𝑅 ) ) ) 𝑍 ) ) )
75 26 59 74 3eqtr4d ( ( 𝜑𝑌 = 𝑍𝜓 ) → ( ( 𝐺 𝐻 ) ( 𝑆 𝑇 ) ) = ( ( 𝐺 𝐻 ) 𝐵 ) )