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Theorem dvds2sub

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

Ref Expression
Assertion dvds2sub ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾𝑀𝐾𝑁 ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀𝑁 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3simpa ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) )
2 3simpb ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
3 zsubcl ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀𝑁 ) ∈ ℤ )
4 3 anim2i ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀𝑁 ) ∈ ℤ ) )
5 4 3impb ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀𝑁 ) ∈ ℤ ) )
6 zsubcl ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( 𝑥𝑦 ) ∈ ℤ )
7 6 adantl ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥𝑦 ) ∈ ℤ )
8 zcn ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ )
9 zcn ( 𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ )
10 zcn ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ )
11 subdir ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝑥 · 𝐾 ) − ( 𝑦 · 𝐾 ) ) )
12 8 9 10 11 syl3an ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝑥 · 𝐾 ) − ( 𝑦 · 𝐾 ) ) )
13 12 3comr ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝑥 · 𝐾 ) − ( 𝑦 · 𝐾 ) ) )
14 13 3expb ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝑥 · 𝐾 ) − ( 𝑦 · 𝐾 ) ) )
15 oveq12 ( ( ( 𝑥 · 𝐾 ) = 𝑀 ∧ ( 𝑦 · 𝐾 ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) − ( 𝑦 · 𝐾 ) ) = ( 𝑀𝑁 ) )
16 14 15 sylan9eq ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) ∧ ( ( 𝑥 · 𝐾 ) = 𝑀 ∧ ( 𝑦 · 𝐾 ) = 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( 𝑀𝑁 ) )
17 16 ex ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝐾 ) = 𝑀 ∧ ( 𝑦 · 𝐾 ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( 𝑀𝑁 ) ) )
18 17 3ad2antl1 ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝐾 ) = 𝑀 ∧ ( 𝑦 · 𝐾 ) = 𝑁 ) → ( ( 𝑥𝑦 ) · 𝐾 ) = ( 𝑀𝑁 ) ) )
19 1 2 5 7 18 dvds2lem ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾𝑀𝐾𝑁 ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀𝑁 ) ) )