Theorem elfzm11

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

	Ref	Expression
Assertion	elfzm11	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ )
2		elfz1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
3	1 2	sylan2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
4		zltlem1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) )
5	4	anbi2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
6	5	expcom	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) )
7	6	pm5.32d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) )
8		3anass	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )
9		3anass	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
10	7 8 9	3bitr4g	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
11	10	adantl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ ( 𝑁 − 1 ) ) ) )
12	3 11	bitr4d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁 ) ) )