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Theorem fsumm1

Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses fsumm1.1 ( 𝜑𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) )
fsumm1.2 ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
fsumm1.3 ( 𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵 )
Assertion fsumm1 ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 + 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fsumm1.1 ( 𝜑𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) )
2 fsumm1.2 ( ( 𝜑𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3 fsumm1.3 ( 𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵 )
4 eluzelz ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
5 1 4 syl ( 𝜑𝑁 ∈ ℤ )
6 fzsn ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑁 ... 𝑁 ) = { 𝑁 } )
7 5 6 syl ( 𝜑 → ( 𝑁 ... 𝑁 ) = { 𝑁 } )
8 7 ineq2d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ ( 𝑁 ... 𝑁 ) ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) )
9 5 zred ( 𝜑𝑁 ∈ ℝ )
10 9 ltm1d ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 )
11 fzdisj ( ( 𝑁 − 1 ) < 𝑁 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ ( 𝑁 ... 𝑁 ) ) = ∅ )
12 10 11 syl ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ ( 𝑁 ... 𝑁 ) ) = ∅ )
13 8 12 eqtr3d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∩ { 𝑁 } ) = ∅ )
14 eluzel2 ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ )
15 1 14 syl ( 𝜑𝑀 ∈ ℤ )
16 peano2zm ( 𝑀 ∈ ℤ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ )
17 15 16 syl ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ )
18 15 zcnd ( 𝜑𝑀 ∈ ℂ )
19 ax-1cn 1 ∈ ℂ
20 npcan ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) = 𝑀 )
21 18 19 20 sylancl ( 𝜑 → ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) = 𝑀 )
22 21 fveq2d ( 𝜑 → ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) = ( ℤ𝑀 ) )
23 1 22 eleqtrrd ( 𝜑𝑁 ∈ ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) )
24 eluzp1m1 ( ( ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ ‘ ( ( 𝑀 − 1 ) + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) )
25 17 23 24 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) )
26 fzsuc2 ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ ‘ ( 𝑀 − 1 ) ) ) → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) )
27 15 25 26 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) )
28 5 zcnd ( 𝜑𝑁 ∈ ℂ )
29 npcan ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
30 28 19 29 sylancl ( 𝜑 → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 )
31 30 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝑀 ... ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
32 27 31 eqtr3d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) = ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
33 30 sneqd ( 𝜑 → { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } = { 𝑁 } )
34 33 uneq2d ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) } ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
35 32 34 eqtr3d ( 𝜑 → ( 𝑀 ... 𝑁 ) = ( ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∪ { 𝑁 } ) )
36 fzfid ( 𝜑 → ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
37 13 35 36 2 fsumsplit ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 ) )
38 3 eleq1d ( 𝑘 = 𝑁 → ( 𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ ) )
39 2 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 ∈ ℂ )
40 eluzfz2 ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) → 𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
41 1 40 syl ( 𝜑𝑁 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
42 38 39 41 rspcdva ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
43 3 sumsn ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ𝑀 ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → Σ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 = 𝐵 )
44 1 42 43 syl2anc ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 = 𝐵 )
45 44 oveq2d ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 + Σ 𝑘 ∈ { 𝑁 } 𝐴 ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 + 𝐵 ) )
46 37 45 eqtrd ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = ( Σ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 + 𝐵 ) )