Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmexg |
⊢ ( 𝐺 ∈ V → dom 𝐺 ∈ V ) |
2 |
|
hashge2el2dif |
⊢ ( ( dom 𝐺 ∈ V ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) ) → ∃ 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∃ 𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 ) |
3 |
2
|
ex |
⊢ ( dom 𝐺 ∈ V → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) → ∃ 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∃ 𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) |
4 |
1 3
|
syl |
⊢ ( 𝐺 ∈ V → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) → ∃ 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∃ 𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) |
5 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏 ) |
6 |
|
elvv |
⊢ ( 𝐺 ∈ ( V × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
7 |
|
difeq1 |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) = ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) ) |
8 |
7
|
funeqd |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ↔ Fun ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) ) ) |
9 |
|
opwo0id |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) |
10 |
9
|
eqcomi |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
11 |
10
|
funeqi |
⊢ ( Fun ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) ↔ Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
12 |
|
dmeq |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → dom 𝐺 = dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
13 |
12
|
eleq2d |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑎 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
14 |
12
|
eleq2d |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑏 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑏 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
15 |
13 14
|
anbi12d |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ↔ ( 𝑎 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑏 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
16 |
|
eqid |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
17 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
18 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
19 |
16 17 18
|
funopdmsn |
⊢ ( ( Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑎 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑏 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
20 |
19
|
3expb |
⊢ ( ( Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑏 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
21 |
20
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑏 ∈ dom 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ( Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 𝑎 = 𝑏 ) ) |
22 |
15 21
|
syl6bi |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → ( Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 𝑎 = 𝑏 ) ) ) |
23 |
22
|
com23 |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( Fun 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) ) |
24 |
11 23
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( Fun ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∖ { ∅ } ) → ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) ) |
25 |
8 24
|
sylbid |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) ) |
26 |
25
|
impcomd |
⊢ ( 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ∧ Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) |
27 |
26
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ∧ Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) |
28 |
27
|
com12 |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ∧ Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ) → ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝐺 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 𝑎 = 𝑏 ) ) |
29 |
6 28
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ∧ Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ) → ( 𝐺 ∈ ( V × V ) → 𝑎 = 𝑏 ) ) |
30 |
29
|
con3d |
⊢ ( ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) ∧ Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ) → ( ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) |
31 |
30
|
ex |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ( ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
32 |
31
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → ( ¬ 𝑎 = 𝑏 → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
33 |
5 32
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑏 ∈ dom 𝐺 ) → ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
34 |
33
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ dom 𝐺 ∃ 𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏 → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) |
35 |
4 34
|
syl6 |
⊢ ( 𝐺 ∈ V → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) → ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
36 |
35
|
com13 |
⊢ ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) → ( 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) → ( 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) ) |
37 |
36
|
imp |
⊢ ( ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) ) → ( 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) ) |
38 |
|
prcnel |
⊢ ( ¬ 𝐺 ∈ V → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) |
39 |
37 38
|
pm2.61d1 |
⊢ ( ( Fun ( 𝐺 ∖ { ∅ } ) ∧ 2 ≤ ( ♯ ‘ dom 𝐺 ) ) → ¬ 𝐺 ∈ ( V × V ) ) |