Theorem hlbtwn

Description: Betweenness is a sufficient condition to swap half-lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	ishlg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	ishlg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	ishlg.k	⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
	ishlg.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	ishlg.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	ishlg.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	hlln.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	hltr.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
	hlbtwn.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
	hlbtwn.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
	hlbtwn.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶 )
Assertion	hlbtwn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐵 ↔ 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐷 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		ishlg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3		ishlg.k	⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
4		ishlg.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
5		ishlg.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
6		ishlg.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
7		hlln.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
8		hltr.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
9		hlbtwn.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
10		hlbtwn.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
11		hlbtwn.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐶 )
12	10 11	2thd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐷 ≠ 𝐶 ) )
13	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
14	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
15	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
16	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
17	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
18		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
19	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
20	1 2 13 14 15 16 17 18 19	tgbtwnconn3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
21		eqid	⊢ ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 )
22	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
23	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
24	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
25	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
26	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
27	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
28		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) )
29	1 21 2 22 23 24 25 26 27 28	tgbtwnexch	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) )
30	29	olcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
31	20 30	jaodan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
32	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
33	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
34	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
35	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
36	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
37		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) )
38	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
39	1 21 2 32 33 34 35 36 37 38	tgbtwnexch	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
40	39	orcd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
41	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
42	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
43	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
44	4	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
45	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
46	11	necomd	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷 )
47	46	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐶 ≠ 𝐷 )
48		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) )
49	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) )
50	1 2 41 42 43 44 45 47 48 49	tgbtwnconn1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
51	40 50	jaodan	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) )
52	31 51	impbida	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ↔ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) )
53	12 52	3anbi23d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) ) )
54	1 2 3 4 5 6 7	ishlg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) ) )
55	1 2 3 4 8 6 7	ishlg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐷 ↔ ( 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐷 ≠ 𝐶 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) ) ) )
56	53 54 55	3bitr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐵 ↔ 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐶 ) 𝐷 ) )