Metamath Proof Explorer

Theorem hvsub4

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion hvsub4 ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆ’โ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hvaddcl โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆˆ โ„‹ )
2 hvaddcl โŠข ( ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ )
3 hvsubval โŠข ( ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆˆ โ„‹ โˆง ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆ’โ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) ) )
4 1 2 3 syl2an โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆ’โ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) ) )
5 hvsubval โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) = ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) )
6 5 ad2ant2r โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) = ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) )
7 hvsubval โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) = ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) )
8 7 ad2ant2l โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) = ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) )
9 6 8 oveq12d โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) +โ„Ž ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) )
10 neg1cn โŠข - 1 โˆˆ โ„‚
11 ax-hvdistr1 โŠข ( ( - 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) )
12 10 11 mp3an1 โŠข ( ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) )
13 12 adantl โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) )
14 13 oveq2d โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) )
15 hvmulcl โŠข ( ( - 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ )
16 10 15 mpan โŠข ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ )
17 16 anim2i โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ ) )
18 hvmulcl โŠข ( ( - 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ )
19 10 18 mpan โŠข ( ๐ท โˆˆ โ„‹ โ†’ ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ )
20 19 anim2i โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ ) )
21 17 20 anim12i โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ ) ) )
22 21 an4s โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ ) ) )
23 hvadd4 โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) +โ„Ž ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) )
24 22 23 syl โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) +โ„Ž ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) )
25 14 24 eqtr4d โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ถ ) ) +โ„Ž ( ๐ต +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ๐ท ) ) ) )
26 9 25 eqtr4d โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) +โ„Ž ( - 1 ยทโ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) ) )
27 4 26 eqtr4d โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( ๐ด +โ„Ž ๐ต ) โˆ’โ„Ž ( ๐ถ +โ„Ž ๐ท ) ) = ( ( ๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ ) +โ„Ž ( ๐ต โˆ’โ„Ž ๐ท ) ) )