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## Theorem iblrelem

Description: Integrability of a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014)

Ref Expression
Hypothesis iblrelem.1 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
Assertion iblrelem ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iblrelem.1 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
2 eqid ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
3 eqid ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
4 eqid ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
5 eqid ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) )
6 2 3 4 5 1 iblcnlem ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) )
7 1 reim0d ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → ( ℑ ‘ 𝐵 ) = 0 )
8 7 itgvallem3 ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = 0 )
9 0re 0 ∈ ℝ
10 8 9 eqeltrdi ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
11 7 negeqd ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → - ( ℑ ‘ 𝐵 ) = - 0 )
12 neg0 - 0 = 0
13 11 12 eqtrdi ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → - ( ℑ ‘ 𝐵 ) = 0 )
14 13 itgvallem3 ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = 0 )
15 14 9 eqeltrdi ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
16 10 15 jca ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
17 16 biantrud ( 𝜑 → ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) )
18 1 rered ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → ( ℜ ‘ 𝐵 ) = 𝐵 )
19 18 ibllem ( 𝜑 → if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) = if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) )
20 19 mpteq2dv ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) )
21 20 fveq2d ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) )
22 21 eleq1d ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ↔ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
23 18 negeqd ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → - ( ℜ ‘ 𝐵 ) = - 𝐵 )
24 23 ibllem ( 𝜑 → if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) = if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) )
25 24 mpteq2dv ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) )
26 25 fveq2d ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) )
27 26 eleq1d ( 𝜑 → ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ↔ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
28 22 27 anbi12d ( 𝜑 → ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
29 17 28 bitr3d ( 𝜑 → ( ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ↔ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
30 29 anbi2d ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) )
31 3anass ( ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) )
32 3anass ( ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
33 30 31 32 3bitr4g ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℜ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) , - ( ℑ ‘ 𝐵 ) , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
34 6 33 bitrd ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( ( 𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ - 𝐵 ) , - 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )