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Theorem issubg3

Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015)

Ref Expression
Hypothesis issubg3.i 𝐼 = ( invg𝐺 )
Assertion issubg3 ( 𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 issubg3.i 𝐼 = ( invg𝐺 )
2 eqid ( 0g𝐺 ) = ( 0g𝐺 )
3 2 subg0cl ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 )
4 3 a1i ( 𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) )
5 2 subm0cl ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 )
6 5 adantr ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 )
7 6 a1i ( 𝐺 ∈ Grp → ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) )
8 ne0i ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅ )
9 id ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 → ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 )
10 8 9 2thd ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ≠ ∅ ↔ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) )
11 10 adantl ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ≠ ∅ ↔ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) )
12 r19.26 ( ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) )
13 12 a1i ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
14 11 13 3anbi23d ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ) )
15 anass ( ( ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
16 df-3an ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) )
17 16 anbi1i ( ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) )
18 df-3an ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
19 15 17 18 3bitr4ri ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ( ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) )
20 14 19 bitrdi ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
21 eqid ( Base ‘ 𝐺 ) = ( Base ‘ 𝐺 )
22 eqid ( +g𝐺 ) = ( +g𝐺 )
23 21 22 1 issubg2 ( 𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ) )
24 23 adantr ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( ∀ 𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ) )
25 grpmnd ( 𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd )
26 21 2 22 issubm ( 𝐺 ∈ Mnd → ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) )
27 25 26 syl ( 𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ) )
28 27 anbi1d ( 𝐺 ∈ Grp → ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
29 28 adantr ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝐺 ) ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ∧ ∀ 𝑥𝑆𝑦𝑆 ( 𝑥 ( +g𝐺 ) 𝑦 ) ∈ 𝑆 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
30 20 24 29 3bitr4d ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )
31 30 ex ( 𝐺 ∈ Grp → ( ( 0g𝐺 ) ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) ) )
32 4 7 31 pm5.21ndd ( 𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ ( SubGrp ‘ 𝐺 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ( SubMnd ‘ 𝐺 ) ∧ ∀ 𝑥𝑆 ( 𝐼𝑥 ) ∈ 𝑆 ) ) )