Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
istrkg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
istrkg.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
istrkg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
5 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
6 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
7 |
|
2lt3 |
⊢ 2 < 3 |
8 |
5 6 7
|
ltleii |
⊢ 2 ≤ 3 |
9 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
10 |
9
|
eluz1i |
⊢ ( 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3 ) ) |
11 |
4 8 10
|
mpbir2an |
⊢ 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) |
12 |
1 2 3
|
istrkgld |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
13 |
11 12
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
14 |
|
fzo13pr |
⊢ ( 1 ..^ 3 ) = { 1 , 2 } |
15 |
|
f1eq2 |
⊢ ( ( 1 ..^ 3 ) = { 1 , 2 } → ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ↔ 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ) ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ↔ 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ) |
17 |
16
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
18 |
17
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
19 |
18
|
a1i |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : ( 1 ..^ 3 ) –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
20 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
21 |
|
1ne2 |
⊢ 1 ≠ 2 |
22 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) ) |
23 |
22
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ) ) |
24 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) ) |
25 |
24
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ) ) |
26 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) ) |
27 |
26
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) |
28 |
23 25 27
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ) ) |
29 |
28
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
31 |
30
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑓 ‘ 1 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
32 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( 𝑣 − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ) |
33 |
32
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ) ) |
34 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( 𝑣 − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ) |
35 |
34
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ) ) |
36 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( 𝑣 − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) |
37 |
36
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) |
38 |
33 35 37
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
39 |
|
2p1e3 |
⊢ ( 2 + 1 ) = 3 |
40 |
39
|
oveq2i |
⊢ ( 2 ..^ ( 2 + 1 ) ) = ( 2 ..^ 3 ) |
41 |
|
fzosn |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → ( 2 ..^ ( 2 + 1 ) ) = { 2 } ) |
42 |
9 41
|
ax-mp |
⊢ ( 2 ..^ ( 2 + 1 ) ) = { 2 } |
43 |
40 42
|
eqtr3i |
⊢ ( 2 ..^ 3 ) = { 2 } |
44 |
43
|
raleqi |
⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ { 2 } ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) |
45 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑓 ‘ 2 ) ) |
46 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ) |
47 |
46
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ) ) |
48 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ) |
49 |
48
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ) ) |
50 |
45
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) |
51 |
50
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) |
52 |
47 49 51
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑗 = 2 → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
53 |
52
|
ralsng |
⊢ ( 2 ∈ ℤ → ( ∀ 𝑗 ∈ { 2 } ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
54 |
9 53
|
ax-mp |
⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ { 2 } ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) |
55 |
44 54
|
bitri |
⊢ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ↔ ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 2 ) − 𝑧 ) ) ) |
56 |
38 55
|
bitr4di |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ↔ ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ) ) |
57 |
56
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
58 |
57
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
59 |
58
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑣 = ( 𝑓 ‘ 2 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
60 |
31 59
|
f1prex |
⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2 ) → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
61 |
20 9 21 60
|
mp3an |
⊢ ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) |
62 |
61
|
a1i |
⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( ∃ 𝑓 ( 𝑓 : { 1 , 2 } –1-1→ 𝑃 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ∀ 𝑗 ∈ ( 2 ..^ 3 ) ( ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑥 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑦 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑓 ‘ 1 ) − 𝑧 ) = ( ( 𝑓 ‘ 𝑗 ) − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |
63 |
13 19 62
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⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑉 → ( 𝐺 DimTarskiG≥ 3 ↔ ∃ 𝑢 ∈ 𝑃 ∃ 𝑣 ∈ 𝑃 ( 𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( ( 𝑢 − 𝑥 ) = ( 𝑣 − 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑦 ) = ( 𝑣 − 𝑦 ) ∧ ( 𝑢 − 𝑧 ) = ( 𝑣 − 𝑧 ) ) ∧ ¬ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) ) ) |