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Theorem kmlem16

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004)

Ref Expression
Hypotheses kmlem14.1 ( 𝜑 ↔ ( 𝑧𝑦 → ( ( 𝑣𝑥𝑦𝑣 ) ∧ 𝑧𝑣 ) ) )
kmlem14.2 ( 𝜓 ↔ ( 𝑧𝑥 → ( ( 𝑣𝑧𝑣𝑦 ) ∧ ( ( 𝑢𝑧𝑢𝑦 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) ) )
kmlem14.3 ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑧𝑥 ∃! 𝑣 𝑣 ∈ ( 𝑧𝑦 ) )
Assertion kmlem16 ( ( ∃ 𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 ( 𝑧𝑤𝑣 ∈ ( 𝑧𝑤 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ( ¬ 𝑦𝑥𝜒 ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 kmlem14.1 ( 𝜑 ↔ ( 𝑧𝑦 → ( ( 𝑣𝑥𝑦𝑣 ) ∧ 𝑧𝑣 ) ) )
2 kmlem14.2 ( 𝜓 ↔ ( 𝑧𝑥 → ( ( 𝑣𝑧𝑣𝑦 ) ∧ ( ( 𝑢𝑧𝑢𝑦 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) ) )
3 kmlem14.3 ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑧𝑥 ∃! 𝑣 𝑣 ∈ ( 𝑧𝑦 ) )
4 1 2 3 kmlem14 ( ∃ 𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 ( 𝑧𝑤𝑣 ∈ ( 𝑧𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) )
5 1 2 3 kmlem15 ( ( ¬ 𝑦𝑥𝜒 ) ↔ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) )
6 5 exbii ( ∃ 𝑦 ( ¬ 𝑦𝑥𝜒 ) ↔ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) )
7 4 6 orbi12i ( ( ∃ 𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 ( 𝑧𝑤𝑣 ∈ ( 𝑧𝑤 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ( ¬ 𝑦𝑥𝜒 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
8 19.43 ( ∃ 𝑦 ( ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
9 pm3.24 ¬ ( 𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥 )
10 simpl ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) → 𝑦𝑥 )
11 10 sps ( ∀ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) → 𝑦𝑥 )
12 11 exlimivv ( ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) → 𝑦𝑥 )
13 simpl ( ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) → ¬ 𝑦𝑥 )
14 13 sps ( ∀ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) → ¬ 𝑦𝑥 )
15 14 exlimivv ( ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) → ¬ 𝑦𝑥 )
16 12 15 anim12i ( ( ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) → ( 𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥 ) )
17 9 16 mto ¬ ( ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) )
18 19.33b ( ¬ ( ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) → ( ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ) )
19 17 18 ax-mp ( ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
20 10 exlimiv ( ∃ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) → 𝑦𝑥 )
21 13 exlimiv ( ∃ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) → ¬ 𝑦𝑥 )
22 20 21 anim12i ( ( ∃ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) → ( 𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥 ) )
23 9 22 mto ¬ ( ∃ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) )
24 19.33b ( ¬ ( ∃ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∧ ∃ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) → ( ∀ 𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∀ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ) )
25 23 24 ax-mp ( ∀ 𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∀ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
26 25 exbii ( ∃ 𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( ∀ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
27 19.43 ( ∃ 𝑣 ( ∀ 𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ( ∃ 𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
28 26 27 bitr2i ( ( ∃ 𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ∃ 𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
29 28 albii ( ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∃ 𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
30 19 29 bitr3i ( ( ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
31 30 exbii ( ∃ 𝑦 ( ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ∀ 𝑧𝑣𝑢 ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )
32 7 8 31 3bitr2i ( ( ∃ 𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 ( 𝑧𝑤𝑣 ∈ ( 𝑧𝑤 ) ) ∨ ∃ 𝑦 ( ¬ 𝑦𝑥𝜒 ) ) ↔ ∃ 𝑦𝑧𝑣𝑢 ( ( 𝑦𝑥𝜑 ) ∨ ( ¬ 𝑦𝑥𝜓 ) ) )