Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
kmlem14.1 |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) ) |
2 |
|
kmlem14.2 |
⊢ ( 𝜓 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦 ) ∧ ( ( 𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦 ) → 𝑢 = 𝑣 ) ) ) ) |
3 |
|
kmlem14.3 |
⊢ ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∃! 𝑣 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑦 ) ) |
4 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑧 ≠ 𝑤 ↔ 𝑦 ≠ 𝑤 ) ) |
5 |
|
ineq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) = ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) |
6 |
5
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) |
7 |
4 6
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
8 |
7
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
9 |
8
|
raleqbi1dv |
⊢ ( 𝑧 = 𝑦 → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
10 |
9
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) |
11 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
12 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
14 |
13
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑣 = 𝑧 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
15 |
14
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) |
16 |
|
df-ral |
⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
17 |
15 16
|
bitri |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) |
18 |
17
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ) |
19 |
|
19.28v |
⊢ ( ∀ 𝑧 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ) |
20 |
|
neeq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑦 ≠ 𝑤 ↔ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ) |
21 |
|
ineq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) = ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) |
22 |
21
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) |
23 |
20 22
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑣 → ( ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) |
24 |
23
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) |
25 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) |
26 |
24 25
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) |
27 |
26
|
imbi2i |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
28 |
|
19.37v |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑣 ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
29 |
27 28
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∃ 𝑣 ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ) |
32 |
|
19.3v |
⊢ ( ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
33 |
|
elin |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) |
34 |
33
|
baibr |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑧 ∈ 𝑣 ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) |
35 |
34
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ↔ ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) |
36 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) |
37 |
35 36
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ↔ ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
38 |
37
|
pm5.74i |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
39 |
1 38
|
bitri |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ) |
41 |
32 40
|
bitr2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
42 |
41
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ( 𝑣 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑦 ≠ 𝑣 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑣 ) ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
43 |
30 31 42
|
3bitr2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
44 |
43
|
albii |
⊢ ( ∀ 𝑧 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑦 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
45 |
18 19 44
|
3bitr2i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
46 |
45
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑦 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑦 ∩ 𝑤 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |
47 |
10 11 46
|
3bitri |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝑥 ( 𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ ( 𝑧 ∩ 𝑤 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑 ) ) |