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Theorem kmlem14

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004)

Ref Expression
Hypotheses kmlem14.1 
|- ( ph <-> ( z e. y -> ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. v ) ) )
kmlem14.2 
|- ( ps <-> ( z e. x -> ( ( v e. z /\ v e. y ) /\ ( ( u e. z /\ u e. y ) -> u = v ) ) ) )
kmlem14.3 
|- ( ch <-> A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) )
Assertion kmlem14 
|- ( E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> E. y A. z E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 kmlem14.1 
 |-  ( ph <-> ( z e. y -> ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. v ) ) )
2 kmlem14.2 
 |-  ( ps <-> ( z e. x -> ( ( v e. z /\ v e. y ) /\ ( ( u e. z /\ u e. y ) -> u = v ) ) ) )
3 kmlem14.3 
 |-  ( ch <-> A. z e. x E! v v e. ( z i^i y ) )
4 neeq1 
 |-  ( z = y -> ( z =/= w <-> y =/= w ) )
5 ineq1 
 |-  ( z = y -> ( z i^i w ) = ( y i^i w ) )
6 5 eleq2d 
 |-  ( z = y -> ( v e. ( z i^i w ) <-> v e. ( y i^i w ) ) )
7 4 6 anbi12d 
 |-  ( z = y -> ( ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) )
8 7 rexbidv 
 |-  ( z = y -> ( E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) )
9 8 raleqbi1dv 
 |-  ( z = y -> ( A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) )
10 9 cbvrexvw 
 |-  ( E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> E. y e. x A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) )
11 df-rex 
 |-  ( E. y e. x A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) <-> E. y ( y e. x /\ A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) )
12 eleq1w 
 |-  ( v = z -> ( v e. ( y i^i w ) <-> z e. ( y i^i w ) ) )
13 12 anbi2d 
 |-  ( v = z -> ( ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) <-> ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) )
14 13 rexbidv 
 |-  ( v = z -> ( E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) <-> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) )
15 14 cbvralvw 
 |-  ( A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) <-> A. z e. y E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) )
16 df-ral 
 |-  ( A. z e. y E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) )
17 15 16 bitri 
 |-  ( A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) <-> A. z ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) )
18 17 anbi2i 
 |-  ( ( y e. x /\ A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. z ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) )
19 19.28v 
 |-  ( A. z ( y e. x /\ ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) <-> ( y e. x /\ A. z ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) )
20 neeq2 
 |-  ( w = v -> ( y =/= w <-> y =/= v ) )
21 ineq2 
 |-  ( w = v -> ( y i^i w ) = ( y i^i v ) )
22 21 eleq2d 
 |-  ( w = v -> ( z e. ( y i^i w ) <-> z e. ( y i^i v ) ) )
23 20 22 anbi12d 
 |-  ( w = v -> ( ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) <-> ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) )
24 23 cbvrexvw 
 |-  ( E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) <-> E. v e. x ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) )
25 df-rex 
 |-  ( E. v e. x ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) <-> E. v ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) )
26 24 25 bitri 
 |-  ( E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) <-> E. v ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) )
27 26 imbi2i 
 |-  ( ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) <-> ( z e. y -> E. v ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
28 19.37v 
 |-  ( E. v ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) <-> ( z e. y -> E. v ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
29 27 28 bitr4i 
 |-  ( ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) <-> E. v ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
30 29 anbi2i 
 |-  ( ( y e. x /\ ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) <-> ( y e. x /\ E. v ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) )
31 19.42v 
 |-  ( E. v ( y e. x /\ ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) <-> ( y e. x /\ E. v ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) )
32 19.3v 
 |-  ( A. u ( y e. x /\ ph ) <-> ( y e. x /\ ph ) )
33 elin 
 |-  ( z e. ( y i^i v ) <-> ( z e. y /\ z e. v ) )
34 33 baibr 
 |-  ( z e. y -> ( z e. v <-> z e. ( y i^i v ) ) )
35 34 anbi2d 
 |-  ( z e. y -> ( ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. v ) <-> ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. ( y i^i v ) ) ) )
36 anass 
 |-  ( ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. ( y i^i v ) ) <-> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) )
37 35 36 bitrdi 
 |-  ( z e. y -> ( ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. v ) <-> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
38 37 pm5.74i 
 |-  ( ( z e. y -> ( ( v e. x /\ y =/= v ) /\ z e. v ) ) <-> ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
39 1 38 bitri 
 |-  ( ph <-> ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) )
40 39 anbi2i 
 |-  ( ( y e. x /\ ph ) <-> ( y e. x /\ ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) )
41 32 40 bitr2i 
 |-  ( ( y e. x /\ ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) <-> A. u ( y e. x /\ ph ) )
42 41 exbii 
 |-  ( E. v ( y e. x /\ ( z e. y -> ( v e. x /\ ( y =/= v /\ z e. ( y i^i v ) ) ) ) ) <-> E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )
43 30 31 42 3bitr2i 
 |-  ( ( y e. x /\ ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) <-> E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )
44 43 albii 
 |-  ( A. z ( y e. x /\ ( z e. y -> E. w e. x ( y =/= w /\ z e. ( y i^i w ) ) ) ) <-> A. z E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )
45 18 19 44 3bitr2i 
 |-  ( ( y e. x /\ A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) <-> A. z E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )
46 45 exbii 
 |-  ( E. y ( y e. x /\ A. v e. y E. w e. x ( y =/= w /\ v e. ( y i^i w ) ) ) <-> E. y A. z E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )
47 10 11 46 3bitri 
 |-  ( E. z e. x A. v e. z E. w e. x ( z =/= w /\ v e. ( z i^i w ) ) <-> E. y A. z E. v A. u ( y e. x /\ ph ) )