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Theorem lediv2

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-Jan-2006)

Ref Expression
Assertion lediv2 ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gt0ne0 ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 0 )
2 rereccl ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
3 1 2 syldan ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 3 3ad2ant2 ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
5 gt0ne0 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6 rereccl ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
7 5 6 syldan ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
8 7 3ad2ant1 ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
9 simp3l ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ )
10 simp3r ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 0 < 𝐶 )
11 lemul2 ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
12 4 8 9 10 11 syl112anc ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
13 lerec ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
14 13 3adant3 ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
15 recn ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ )
16 recn ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ )
17 16 adantr ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
18 17 1 jca ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) )
19 divrec ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
20 19 3expb ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
21 15 18 20 syl2an ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
22 21 3adant2 ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
23 recn ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
24 23 adantr ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
25 24 5 jca ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) )
26 divrec ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
27 26 3expb ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
28 15 25 27 syl2an ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
29 28 3adant3 ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
30 22 29 breq12d ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
31 30 3coml ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
32 31 3adant3r ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
33 12 14 32 3bitr4d ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴𝐵 ↔ ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ) )