Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gt0ne0 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 0 ) |
2 |
|
rereccl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
3 |
1 2
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
5 |
|
gt0ne0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
6 |
|
rereccl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
7 |
5 6
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
8 |
7
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
10 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → 0 < 𝐶 ) |
11 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) ) |
12 |
4 8 9 10 11
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) ) |
13 |
|
lerec |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
14 |
13
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
15 |
|
recn |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ ) |
16 |
|
recn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
18 |
17 1
|
jca |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) |
19 |
|
divrec |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ) |
20 |
19
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ) |
21 |
15 18 20
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ) |
22 |
21
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ) |
23 |
|
recn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
25 |
24 5
|
jca |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ) |
26 |
|
divrec |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
27 |
26
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
28 |
15 25 27
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
29 |
28
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) |
30 |
22 29
|
breq12d |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) ) |
31 |
30
|
3coml |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) ) |
32 |
31
|
3adant3r |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) ) |
33 |
12 14 32
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ) ) |