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Theorem lediv2aALT

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion lediv2aALT ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gt0ne0 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 0 )
2 rereccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
3 1 2 syldan ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 gt0ne0 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ≠ 0 )
5 rereccl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
6 4 5 syldan ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
7 3 6 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
8 7 ancoms ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
9 8 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) )
10 simp3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) )
11 df-3an ⊢ ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) )
12 9 10 11 sylanbrc ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) )
13 lemul2a ⊢ ( ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) ∧ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) → ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
14 13 ex ⊢ ( ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) → ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
15 12 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) → ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
16 lerec ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
17 16 3adant3 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
18 recn ⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ )
19 18 adantr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) → 𝐶 ∈ ℂ )
20 recn ⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ )
21 20 adantr ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℂ )
22 21 1 jca ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) )
23 19 22 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) )
24 3anass ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) )
25 23 24 sylibr ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) )
26 divrec ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
27 25 26 syl ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
28 27 ancoms ⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
29 28 3adant1 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 / 𝐵 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) )
30 recn ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
31 30 adantr ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
32 31 4 jca ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) )
33 19 32 anim12i ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ) )
34 3anass ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ) )
35 33 34 sylibr ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) )
36 divrec ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
37 35 36 syl ⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
38 37 ancoms ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
39 38 3adant2 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐶 / 𝐴 ) = ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
40 29 39 breq12d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 𝐶 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
41 15 17 40 3imtr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐴 ) ) )