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Theorem letr

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999)

Ref Expression
Assertion letr ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴𝐵𝐵𝐶 ) → 𝐴𝐶 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 leloe ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵𝐶 ↔ ( 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶 ) ) )
2 1 3adant1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵𝐶 ↔ ( 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶 ) ) )
3 2 adantr ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐵𝐶 ↔ ( 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶 ) ) )
4 lelttr ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴𝐵𝐵 < 𝐶 ) → 𝐴 < 𝐶 ) )
5 ltle ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶𝐴𝐶 ) )
6 5 3adant2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐶𝐴𝐶 ) )
7 4 6 syld ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴𝐵𝐵 < 𝐶 ) → 𝐴𝐶 ) )
8 7 expdimp ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐵 < 𝐶𝐴𝐶 ) )
9 breq2 ( 𝐵 = 𝐶 → ( 𝐴𝐵𝐴𝐶 ) )
10 9 biimpcd ( 𝐴𝐵 → ( 𝐵 = 𝐶𝐴𝐶 ) )
11 10 adantl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐵 = 𝐶𝐴𝐶 ) )
12 8 11 jaod ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( ( 𝐵 < 𝐶𝐵 = 𝐶 ) → 𝐴𝐶 ) )
13 3 12 sylbid ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴𝐵 ) → ( 𝐵𝐶𝐴𝐶 ) )
14 13 expimpd ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴𝐵𝐵𝐶 ) → 𝐴𝐶 ) )