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Theorem lspsn

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014)

Ref Expression
Hypotheses lspsn.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
lspsn.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
lspsn.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊 )
lspsn.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
Assertion lspsn ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lspsn.f 𝐹 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
2 lspsn.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝐹 )
3 lspsn.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
4 lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊 )
5 lspsn.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
6 eqid ( LSubSp ‘ 𝑊 ) = ( LSubSp ‘ 𝑊 )
7 simpl ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → 𝑊 ∈ LMod )
8 3 1 4 2 6 lss1d ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } ∈ ( LSubSp ‘ 𝑊 ) )
9 eqid ( 1r𝐹 ) = ( 1r𝐹 )
10 1 2 9 lmod1cl ( 𝑊 ∈ LMod → ( 1r𝐹 ) ∈ 𝐾 )
11 3 1 4 9 lmodvs1 ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) = 𝑋 )
12 11 eqcomd ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → 𝑋 = ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) )
13 oveq1 ( 𝑘 = ( 1r𝐹 ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) = ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) )
14 13 rspceeqv ( ( ( 1r𝐹 ) ∈ 𝐾𝑋 = ( ( 1r𝐹 ) · 𝑋 ) ) → ∃ 𝑘𝐾 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
15 10 12 14 syl2an2r ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ∃ 𝑘𝐾 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) )
16 eqeq1 ( 𝑣 = 𝑋 → ( 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ↔ 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
17 16 rexbidv ( 𝑣 = 𝑋 → ( ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ↔ ∃ 𝑘𝐾 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
18 17 elabg ( 𝑋𝑉 → ( 𝑋 ∈ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } ↔ ∃ 𝑘𝐾 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
19 18 adantl ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( 𝑋 ∈ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } ↔ ∃ 𝑘𝐾 𝑋 = ( 𝑘 · 𝑋 ) ) )
20 15 19 mpbird ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → 𝑋 ∈ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } )
21 6 5 7 8 20 lspsnel5a ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ⊆ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } )
22 7 adantr ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → 𝑊 ∈ LMod )
23 3 6 5 lspsncl ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑊 ) )
24 23 adantr ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑊 ) )
25 simpr ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → 𝑘𝐾 )
26 3 5 lspsnid ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
27 26 adantr ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
28 1 4 2 6 lssvscl ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑘𝐾𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
29 22 24 25 27 28 syl22anc ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
30 eleq1a ( ( 𝑘 · 𝑋 ) ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) → ( 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) → 𝑣 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) )
31 29 30 syl ( ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) ∧ 𝑘𝐾 ) → ( 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) → 𝑣 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) )
32 31 rexlimdva ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) → 𝑣 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) )
33 32 abssdv ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
34 21 33 eqssd ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑘𝐾 𝑣 = ( 𝑘 · 𝑋 ) } )