Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lt2addrd.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
lt2addrd.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
lt2addrd.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
4 |
|
lt2addrd.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
5 |
2 3
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
8 |
2 7
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
3 7
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
10 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
11 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
12 |
11 10
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
13 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
14 |
12 13
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
15 |
14
|
halfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
16 |
10 15 15
|
subsub4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) = ( 𝐶 − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ) |
18 |
10 15
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
19 |
11 15 18
|
subadd23d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐵 + ( ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) |
20 |
14
|
2halvesd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) = ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ) |
21 |
20 14
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
11 10 21
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) = ( 𝐵 + ( 𝐶 − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ) |
23 |
17 19 22
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) = ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) |
24 |
20
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − ( ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) + ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) = ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ) ) |
25 |
12 13
|
nncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
26 |
23 24 25
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) |
27 |
|
difrp |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) ) |
28 |
1 5 27
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) ) |
29 |
4 28
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) ∈ ℝ+ ) |
30 |
29
|
rphalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
31 |
2 30
|
ltsubrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ) |
32 |
3 30
|
ltsubrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐶 ) |
33 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( 𝑏 + 𝑐 ) = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) ) |
34 |
33
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( 𝐴 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) ) ) |
35 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( 𝑏 < 𝐵 ↔ ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ) ) |
36 |
34 35
|
3anbi12d |
⊢ ( 𝑏 = ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐴 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) ) |
37 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) |
38 |
37
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ) |
39 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( 𝑐 < 𝐶 ↔ ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐶 ) ) |
40 |
38 39
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑐 = ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) → ( ( 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ∧ ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ∧ ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐶 ) ) ) |
41 |
36 40
|
rspc2ev |
⊢ ( ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 = ( ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) + ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ∧ ( 𝐵 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐵 ∧ ( 𝐶 − ( ( ( 𝐵 + 𝐶 ) − 𝐴 ) / 2 ) ) < 𝐶 ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ( 𝐴 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) |
42 |
8 9 26 31 32 41
|
syl113anc |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑏 ∈ ℝ ∃ 𝑐 ∈ ℝ ( 𝐴 = ( 𝑏 + 𝑐 ) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶 ) ) |