Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mapdval.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
mapdval.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
mapdval.s |
⊢ 𝑆 = ( LSubSp ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
mapdval.f |
⊢ 𝐹 = ( LFnl ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
mapdval.l |
⊢ 𝐿 = ( LKer ‘ 𝑈 ) |
6 |
|
mapdval.o |
⊢ 𝑂 = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
mapdval.m |
⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
1
|
mapdffval |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( mapd ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) ) |
9 |
8
|
fveq1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) ‘ 𝑊 ) ) |
10 |
7 9
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝑀 = ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) ‘ 𝑊 ) ) |
11 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
12 |
11 2
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = 𝑈 ) |
13 |
12
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 ) ) |
14 |
13 3
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝑆 ) |
15 |
12
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LFnl ‘ 𝑈 ) ) |
16 |
15 4
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝐹 ) |
17 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
18 |
17 6
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = 𝑂 ) |
19 |
12
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( LKer ‘ 𝑈 ) ) |
20 |
19 5
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝐿 ) |
21 |
20
|
fveq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) |
22 |
18 21
|
fveq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) |
23 |
18 22
|
fveq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) ) |
24 |
23 21
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ↔ ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) |
25 |
22
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ↔ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) ) |
26 |
24 25
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) ↔ ( ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ∧ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) ) ) |
27 |
16 26
|
rabeqbidv |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } = { 𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ∧ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) |
28 |
14 27
|
mpteq12dv |
⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) = ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ { 𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ∧ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) |
29 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) |
30 |
28 29 3
|
mptfvmpt |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑠 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ { 𝑓 ∈ ( LFnl ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∣ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ) = ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ∧ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( LKer ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) ‘ 𝑊 ) = ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ { 𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ∧ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) |
31 |
10 30
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑀 = ( 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ { 𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ( 𝑂 ‘ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ) = ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ∧ ( 𝑂 ‘ ( 𝐿 ‘ 𝑓 ) ) ⊆ 𝑠 ) } ) ) |