Metamath Proof Explorer


Theorem mapdfval

Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdval.h H = LHyp K
mapdval.u U = DVecH K W
mapdval.s S = LSubSp U
mapdval.f F = LFnl U
mapdval.l L = LKer U
mapdval.o O = ocH K W
mapdval.m M = mapd K W
Assertion mapdfval K X W H M = s S f F | O O L f = L f O L f s

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdval.h H = LHyp K
2 mapdval.u U = DVecH K W
3 mapdval.s S = LSubSp U
4 mapdval.f F = LFnl U
5 mapdval.l L = LKer U
6 mapdval.o O = ocH K W
7 mapdval.m M = mapd K W
8 1 mapdffval K X mapd K = w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s
9 8 fveq1d K X mapd K W = w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s W
10 7 9 syl5eq K X M = w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s W
11 fveq2 w = W DVecH K w = DVecH K W
12 11 2 eqtr4di w = W DVecH K w = U
13 12 fveq2d w = W LSubSp DVecH K w = LSubSp U
14 13 3 eqtr4di w = W LSubSp DVecH K w = S
15 12 fveq2d w = W LFnl DVecH K w = LFnl U
16 15 4 eqtr4di w = W LFnl DVecH K w = F
17 fveq2 w = W ocH K w = ocH K W
18 17 6 eqtr4di w = W ocH K w = O
19 12 fveq2d w = W LKer DVecH K w = LKer U
20 19 5 eqtr4di w = W LKer DVecH K w = L
21 20 fveq1d w = W LKer DVecH K w f = L f
22 18 21 fveq12d w = W ocH K w LKer DVecH K w f = O L f
23 18 22 fveq12d w = W ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = O O L f
24 23 21 eqeq12d w = W ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f O O L f = L f
25 22 sseq1d w = W ocH K w LKer DVecH K w f s O L f s
26 24 25 anbi12d w = W ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s O O L f = L f O L f s
27 16 26 rabeqbidv w = W f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s = f F | O O L f = L f O L f s
28 14 27 mpteq12dv w = W s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s = s S f F | O O L f = L f O L f s
29 eqid w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s = w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s
30 28 29 3 mptfvmpt W H w H s LSubSp DVecH K w f LFnl DVecH K w | ocH K w ocH K w LKer DVecH K w f = LKer DVecH K w f ocH K w LKer DVecH K w f s W = s S f F | O O L f = L f O L f s
31 10 30 sylan9eq K X W H M = s S f F | O O L f = L f O L f s