mapdh8ad

Description: Part of Part (8) in Baer p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
	mapdh8a.s	⊢ − = ( -_g ‘ 𝑈 )
	mapdh8a.o	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑈 )
	mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
	mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
	mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = ( -_g ‘ 𝐶 )
	mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = ( 0_g ‘ 𝐶 )
	mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
	mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2^nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
	mapdh8a.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
	mapdh8ac.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
	mapdh8ac.mn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
	mapdh8ac.eg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
	mapdh8ac.ee	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
	mapdh8ac.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdh8ac.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdh8ac.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdh8ac.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
	mapdh8ac.yn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
	mapdh8ad.xy	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
	mapdh8ad.xz	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
Assertion	mapdh8ad	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑌 , 𝐺 , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑍 , 𝐸 , 𝑇 ⟩ ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
4		mapdh8a.s	⊢ − = ( -_g ‘ 𝑈 )
5		mapdh8a.o	⊢ 0 = ( 0_g ‘ 𝑈 )
6		mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
7		mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 )
9		mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = ( -_g ‘ 𝐶 )
10		mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = ( 0_g ‘ 𝐶 )
11		mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
12		mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
13		mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2^nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2^nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1^st ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2^nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2^nd ‘ ( 1^st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) )
14		mapdh8a.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
15		mapdh8ac.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 )
16		mapdh8ac.mn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
17		mapdh8ac.eg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
18		mapdh8ac.ee	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
19		mapdh8ac.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
20		mapdh8ac.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
21		mapdh8ac.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
22		mapdh8ac.t	⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
23		mapdh8ac.yn	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
24		mapdh8ad.xy	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
25		mapdh8ad.xz	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
26	19	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
27	20	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
28	21	eldifad	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 )
29	1 2 3 6 14 26 27 28	dvh3dim2	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) )
30	14	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
31	15	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝐷 )
32	16	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) )
33	17	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 ⟩ ) = 𝐺 )
34	18	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 ⟩ ) = 𝐸 )
35	19	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
36	20	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
37	21	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
38	22	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑇 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
39	23	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑇 } ) )
40		eqidd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 ⟩ ) )
41		eqid	⊢ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) = ( LSubSp ‘ 𝑈 )
42	1 2 14	dvhlmod	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod )
43	42	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑈 ∈ LMod )
44	3 41 6 42 26 27	lspprcl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
45	44	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∈ ( LSubSp ‘ 𝑈 ) )
46		simp2	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 )
47		simp3l	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
48	5 41 43 45 46 47	lssneln0	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
49	1 2 14	dvhlvec	⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec )
50	49	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑈 ∈ LVec )
51	26	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
52	27	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑉 )
53	3 6 50 46 51 52 47	lspindpi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) )
54	53	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
55	54	necomd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) )
56		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝜑 )
57	56 49	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑈 ∈ LVec )
58	56 19	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
59		simpl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 )
60	56 27	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑌 ∈ 𝑉 )
61	56 24	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
62		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) )
63		prcom	⊢ { 𝑌 , 𝑤 } = { 𝑤 , 𝑌 }
64	63	fveq2i	⊢ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } )
65	62 64	eleqtrdi	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } ) )
66	3 5 6 57 58 59 60 61 65	lspexch	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
67	47 66	mtand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑤 } ) )
68	28	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 )
69		simp3r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) )
70	3 6 50 46 51 68 69	lspindpi	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) )
71	70	simprd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
72		simpl1	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝜑 )
73	72 49	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑈 ∈ LVec )
74	72 19	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
75		simpl2	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑤 ∈ 𝑉 )
76	72 28	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑍 ∈ 𝑉 )
77	72 25	syl	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
78		simpr	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) )
79	3 5 6 73 74 75 76 77 78	lspexch	⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) )
80	69 79	mtand	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑍 } ) )
81	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 48 55 67 71 80	mapdh8ac	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑌 , 𝐺 , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑍 , 𝐸 , 𝑇 ⟩ ) )
82	81	rexlimdv3a	⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑤 ∈ 𝑉 ( ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑍 } ) ) → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑌 , 𝐺 , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑍 , 𝐸 , 𝑇 ⟩ ) ) )
83	29 82	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑌 , 𝐺 , 𝑇 ⟩ ) = ( 𝐼 ‘ ⟨ 𝑍 , 𝐸 , 𝑇 ⟩ ) )

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Theorem mapdh8ad

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