mapdh8ad

Description: Part of Part (8) in Baer p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mapdh8a.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	mapdh8a.u	\|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
	mapdh8a.v	\|- V = ( Base ` U )
	mapdh8a.s	\|- .- = ( -g ` U )
	mapdh8a.o	\|- .0. = ( 0g ` U )
	mapdh8a.n	\|- N = ( LSpan ` U )
	mapdh8a.c	\|- C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
	mapdh8a.d	\|- D = ( Base ` C )
	mapdh8a.r	\|- R = ( -g ` C )
	mapdh8a.q	\|- Q = ( 0g ` C )
	mapdh8a.j	\|- J = ( LSpan ` C )
	mapdh8a.m	\|- M = ( ( mapd ` K ) ` W )
	mapdh8a.i	\|- I = ( x e. _V \|-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
	mapdh8a.k	\|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	mapdh8ac.f	\|- ( ph -> F e. D )
	mapdh8ac.mn	\|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
	mapdh8ac.eg	\|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
	mapdh8ac.ee	\|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
	mapdh8ac.x	\|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
	mapdh8ac.y	\|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
	mapdh8ac.z	\|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
	mapdh8ac.t	\|- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )
	mapdh8ac.yn	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { T } ) )
	mapdh8ad.xy	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
	mapdh8ad.xz	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
Assertion	mapdh8ad	\|- ( ph -> ( I ` <. Y , G , T >. ) = ( I ` <. Z , E , T >. ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	\|- H = ( LHyp ` K )
2		mapdh8a.u	\|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		mapdh8a.v	\|- V = ( Base ` U )
4		mapdh8a.s	\|- .- = ( -g ` U )
5		mapdh8a.o	\|- .0. = ( 0g ` U )
6		mapdh8a.n	\|- N = ( LSpan ` U )
7		mapdh8a.c	\|- C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
8		mapdh8a.d	\|- D = ( Base ` C )
9		mapdh8a.r	\|- R = ( -g ` C )
10		mapdh8a.q	\|- Q = ( 0g ` C )
11		mapdh8a.j	\|- J = ( LSpan ` C )
12		mapdh8a.m	\|- M = ( ( mapd ` K ) ` W )
13		mapdh8a.i	\|- I = ( x e. _V \|-> if ( ( 2nd ` x ) = .0. , Q , ( iota_ h e. D ( ( M ` ( N ` { ( 2nd ` x ) } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( ( 1st ` ( 1st ` x ) ) .- ( 2nd ` x ) ) } ) ) = ( J ` { ( ( 2nd ` ( 1st ` x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14		mapdh8a.k	\|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		mapdh8ac.f	\|- ( ph -> F e. D )
16		mapdh8ac.mn	\|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
17		mapdh8ac.eg	\|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
18		mapdh8ac.ee	\|- ( ph -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
19		mapdh8ac.x	\|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
20		mapdh8ac.y	\|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
21		mapdh8ac.z	\|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
22		mapdh8ac.t	\|- ( ph -> T e. ( V \ { .0. } ) )
23		mapdh8ac.yn	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) = ( N ` { T } ) )
24		mapdh8ad.xy	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
25		mapdh8ad.xz	\|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
26	19	eldifad	\|- ( ph -> X e. V )
27	20	eldifad	\|- ( ph -> Y e. V )
28	21	eldifad	\|- ( ph -> Z e. V )
29	1 2 3 6 14 26 27 28	dvh3dim2	\|- ( ph -> E. w e. V ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) )
30	14	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
31	15	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> F e. D )
32	16	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { F } ) )
33	17	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( I ` <. X , F , Y >. ) = G )
34	18	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( I ` <. X , F , Z >. ) = E )
35	19	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
36	20	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
37	21	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
38	22	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> T e. ( V \ { .0. } ) )
39	23	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { T } ) )
40		eqidd	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( I ` <. X , F , w >. ) = ( I ` <. X , F , w >. ) )
41		eqid	\|- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	1 2 14	dvhlmod	\|- ( ph -> U e. LMod )
43	42	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> U e. LMod )
44	3 41 6 42 26 27	lspprcl	\|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
45	44	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
46		simp2	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> w e. V )
47		simp3l	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
48	5 41 43 45 46 47	lssneln0	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> w e. ( V \ { .0. } ) )
49	1 2 14	dvhlvec	\|- ( ph -> U e. LVec )
50	49	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> U e. LVec )
51	26	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> X e. V )
52	27	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> Y e. V )
53	3 6 50 46 51 52 47	lspindpi	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( ( N ` { w } ) =/= ( N ` { X } ) /\ ( N ` { w } ) =/= ( N ` { Y } ) ) )
54	53	simprd	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( N ` { w } ) =/= ( N ` { Y } ) )
55	54	necomd	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { w } ) )
56		simpl1	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> ph )
57	56 49	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> U e. LVec )
58	56 19	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
59		simpl2	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> w e. V )
60	56 27	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> Y e. V )
61	56 24	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
62		simpr	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> X e. ( N ` { Y , w } ) )
63		prcom	\|- { Y , w } = { w , Y }
64	63	fveq2i	\|- ( N ` { Y , w } ) = ( N ` { w , Y } )
65	62 64	eleqtrdi	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> X e. ( N ` { w , Y } ) )
66	3 5 6 57 58 59 60 61 65	lspexch	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { Y , w } ) ) -> w e. ( N ` { X , Y } ) )
67	47 66	mtand	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> -. X e. ( N ` { Y , w } ) )
68	28	3ad2ant1	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> Z e. V )
69		simp3r	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> -. w e. ( N ` { X , Z } ) )
70	3 6 50 46 51 68 69	lspindpi	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( ( N ` { w } ) =/= ( N ` { X } ) /\ ( N ` { w } ) =/= ( N ` { Z } ) ) )
71	70	simprd	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( N ` { w } ) =/= ( N ` { Z } ) )
72		simpl1	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> ph )
73	72 49	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> U e. LVec )
74	72 19	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
75		simpl2	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> w e. V )
76	72 28	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> Z e. V )
77	72 25	syl	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Z } ) )
78		simpr	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> X e. ( N ` { w , Z } ) )
79	3 5 6 73 74 75 76 77 78	lspexch	\|- ( ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) /\ X e. ( N ` { w , Z } ) ) -> w e. ( N ` { X , Z } ) )
80	69 79	mtand	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> -. X e. ( N ` { w , Z } ) )
81	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 48 55 67 71 80	mapdh8ac	\|- ( ( ph /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) ) -> ( I ` <. Y , G , T >. ) = ( I ` <. Z , E , T >. ) )
82	81	rexlimdv3a	\|- ( ph -> ( E. w e. V ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { X , Z } ) ) -> ( I ` <. Y , G , T >. ) = ( I ` <. Z , E , T >. ) ) )
83	29 82	mpd	\|- ( ph -> ( I ` <. Y , G , T >. ) = ( I ` <. Z , E , T >. ) )

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Theorem mapdh8ad

Proof