Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdetfval1.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 ) |
2 |
|
mdetfval1.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
3 |
|
mdetfval1.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
mdetfval1.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) |
5 |
|
mdetfval1.y |
⊢ 𝑌 = ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) |
6 |
|
mdetfval1.s |
⊢ 𝑆 = ( pmSgn ‘ 𝑁 ) |
7 |
|
mdetfval1.t |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
8 |
|
mdetfval1.u |
⊢ 𝑈 = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
mdetfval |
⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
10 |
4 6
|
cofipsgn |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) ) |
11 |
10
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃 ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) = ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) |
15 |
9 14
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) |
16 |
|
df-nel |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin ) |
17 |
1
|
nfimdetndef |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅ ) |
18 |
2
|
fveq2i |
⊢ ( Base ‘ 𝐴 ) = ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) |
19 |
3 18
|
eqtri |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) |
20 |
16
|
biimpi |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin ) |
21 |
20
|
intnanrd |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → ¬ ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) ) |
22 |
|
matbas0 |
⊢ ( ¬ ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) → ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) = ∅ ) |
23 |
21 22
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑅 ) ) = ∅ ) |
24 |
19 23
|
eqtrid |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅ ) |
25 |
24
|
mpteq1d |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑚 ∈ ∅ ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) |
26 |
|
mpt0 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ∅ ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) = ∅ |
27 |
25 26
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) = ∅ ) |
28 |
17 27
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) |
29 |
16 28
|
sylbir |
⊢ ( ¬ 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) ) |
30 |
15 29
|
pm2.61i |
⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ( ( 𝑌 ‘ ( 𝑆 ‘ 𝑝 ) ) · ( 𝑈 Σg ( 𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑥 ) 𝑚 𝑥 ) ) ) ) ) ) ) |