Theorem mirf

Description: Point inversion as function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
	mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	mirfv.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐴 )
Assertion	mirf	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 : 𝑃 ⟶ 𝑃 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6		mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
7		mirval.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
8		mirfv.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐴 )
9		riotaex	⊢ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ∈ V
10	9	a1i	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ∈ V )
11	1 2 3 4 5 6 7	mirval	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
12	8 11	syl5eq	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 = ( 𝑦 ∈ 𝑃 ↦ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
13	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
14	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
15		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
16	1 2 3 4 5 13 14 8 15	mirfv	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑥 ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) ) ) )
17	1 2 3 13 15 14	mirreu3	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ∃! 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) ) )
18		riotacl	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑃 )
19	17 18	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑃 )
20	16 19	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑥 ) ∈ 𝑃 )
21	10 12 20	fmpt2d	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 : 𝑃 ⟶ 𝑃 )