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Theorem mirhl

Description: If two points X and Y are on the same half-line from Z , the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020)

Ref Expression
Hypotheses mirval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
mirval.d = ( dist ‘ 𝐺 )
mirval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
mirval.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
mirval.s 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
mirval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
mirhl.m 𝑀 = ( 𝑆𝐴 )
mirhl.k 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
mirhl.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
mirhl.x ( 𝜑𝑋𝑃 )
mirhl.y ( 𝜑𝑌𝑃 )
mirhl.z ( 𝜑𝑍𝑃 )
mirhl.1 ( 𝜑𝑋 ( 𝐾𝑍 ) 𝑌 )
Assertion mirhl ( 𝜑 → ( 𝑀𝑋 ) ( 𝐾 ‘ ( 𝑀𝑍 ) ) ( 𝑀𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mirval.p 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 mirval.d = ( dist ‘ 𝐺 )
3 mirval.i 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4 mirval.l 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5 mirval.s 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6 mirval.g ( 𝜑𝐺 ∈ TarskiG )
7 mirhl.m 𝑀 = ( 𝑆𝐴 )
8 mirhl.k 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
9 mirhl.a ( 𝜑𝐴𝑃 )
10 mirhl.x ( 𝜑𝑋𝑃 )
11 mirhl.y ( 𝜑𝑌𝑃 )
12 mirhl.z ( 𝜑𝑍𝑃 )
13 mirhl.1 ( 𝜑𝑋 ( 𝐾𝑍 ) 𝑌 )
14 6 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
15 9 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝐴𝑃 )
16 10 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑋𝑃 )
17 12 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑍𝑃 )
18 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) )
19 1 2 3 4 5 14 15 7 16 17 18 mireq ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑋 = 𝑍 )
20 1 3 8 10 11 12 6 ishlg ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾𝑍 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) ) ) )
21 13 20 mpbid ( 𝜑 → ( 𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) ) )
22 21 simp1d ( 𝜑𝑋𝑍 )
23 22 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑋𝑍 )
24 23 neneqd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → ¬ 𝑋 = 𝑍 )
25 19 24 pm2.65da ( 𝜑 → ¬ ( 𝑀𝑋 ) = ( 𝑀𝑍 ) )
26 25 neqned ( 𝜑 → ( 𝑀𝑋 ) ≠ ( 𝑀𝑍 ) )
27 6 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
28 9 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝐴𝑃 )
29 11 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑌𝑃 )
30 12 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑍𝑃 )
31 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) )
32 1 2 3 4 5 27 28 7 29 30 31 mireq ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑌 = 𝑍 )
33 21 simp2d ( 𝜑𝑌𝑍 )
34 33 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → 𝑌𝑍 )
35 34 neneqd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) ) → ¬ 𝑌 = 𝑍 )
36 32 35 pm2.65da ( 𝜑 → ¬ ( 𝑀𝑌 ) = ( 𝑀𝑍 ) )
37 36 neqned ( 𝜑 → ( 𝑀𝑌 ) ≠ ( 𝑀𝑍 ) )
38 21 simp3d ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) )
39 6 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
40 9 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝐴𝑃 )
41 12 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑍𝑃 )
42 10 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋𝑃 )
43 11 adantr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑌𝑃 )
44 simpr ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) )
45 1 2 3 4 5 39 40 7 41 42 43 44 mirbtwni ( ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) → ( 𝑀𝑋 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑌 ) ) )
46 45 ex ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) → ( 𝑀𝑋 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑌 ) ) ) )
47 6 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
48 9 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝐴𝑃 )
49 12 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝑍𝑃 )
50 11 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝑌𝑃 )
51 10 adantr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝑋𝑃 )
52 simpr ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) )
53 1 2 3 4 5 47 48 7 49 50 51 52 mirbtwni ( ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → ( 𝑀𝑌 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑋 ) ) )
54 53 ex ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) → ( 𝑀𝑌 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑋 ) ) ) )
55 46 54 orim12d ( 𝜑 → ( ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) → ( ( 𝑀𝑋 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑌 ) ) ∨ ( 𝑀𝑌 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑋 ) ) ) ) )
56 38 55 mpd ( 𝜑 → ( ( 𝑀𝑋 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑌 ) ) ∨ ( 𝑀𝑌 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑋 ) ) ) )
57 1 2 3 4 5 6 9 7 10 mircl ( 𝜑 → ( 𝑀𝑋 ) ∈ 𝑃 )
58 1 2 3 4 5 6 9 7 11 mircl ( 𝜑 → ( 𝑀𝑌 ) ∈ 𝑃 )
59 1 2 3 4 5 6 9 7 12 mircl ( 𝜑 → ( 𝑀𝑍 ) ∈ 𝑃 )
60 1 3 8 57 58 59 6 ishlg ( 𝜑 → ( ( 𝑀𝑋 ) ( 𝐾 ‘ ( 𝑀𝑍 ) ) ( 𝑀𝑌 ) ↔ ( ( 𝑀𝑋 ) ≠ ( 𝑀𝑍 ) ∧ ( 𝑀𝑌 ) ≠ ( 𝑀𝑍 ) ∧ ( ( 𝑀𝑋 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑌 ) ) ∨ ( 𝑀𝑌 ) ∈ ( ( 𝑀𝑍 ) 𝐼 ( 𝑀𝑋 ) ) ) ) ) )
61 26 37 56 60 mpbir3and ( 𝜑 → ( 𝑀𝑋 ) ( 𝐾 ‘ ( 𝑀𝑍 ) ) ( 𝑀𝑌 ) )