Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝑁 mod 𝐷 ) = 𝑅 ↔ 𝑅 = ( 𝑁 mod 𝐷 ) ) |
2 |
|
divalgmodcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑅 = ( 𝑁 mod 𝐷 ) ↔ ( 𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) ) |
3 |
2
|
3adant3r |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝑅 = ( 𝑁 mod 𝐷 ) ↔ ( 𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) ) |
4 |
|
ibar |
⊢ ( 𝑅 < 𝐷 → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) ) |
5 |
4
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) ) |
7 |
|
nnz |
⊢ ( 𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ ℤ ) |
9 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
10 |
|
nn0z |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) → 𝑅 ∈ ℤ ) |
12 |
11
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ ℤ ) |
13 |
9 12
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝑁 − 𝑅 ) ∈ ℤ ) |
14 |
|
divides |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑅 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( 𝑧 · 𝐷 ) = ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) |
15 |
8 13 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( 𝑧 · 𝐷 ) = ( 𝑁 − 𝑅 ) ) ) |
16 |
|
eqcom |
⊢ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) = ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ( 𝑁 − 𝑅 ) = ( 𝑧 · 𝐷 ) ) |
17 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
20 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℂ ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
22 |
21
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → 𝑅 ∈ ℂ ) |
24 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → 𝑧 ∈ ℤ ) |
25 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → 𝐷 ∈ ℤ ) |
26 |
24 25
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → ( 𝑧 · 𝐷 ) ∈ ℤ ) |
27 |
26
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → ( 𝑧 · 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
28 |
19 23 27
|
subadd2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 𝑅 ) = ( 𝑧 · 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |
29 |
16 28
|
syl5bb |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑧 · 𝐷 ) = ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |
30 |
29
|
rexbidva |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( 𝑧 · 𝐷 ) = ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |
31 |
15 30
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝐷 ∥ ( 𝑁 − 𝑅 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |
32 |
3 6 31
|
3bitr2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( 𝑅 = ( 𝑁 mod 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |
33 |
1 32
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ( 𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷 ) ) → ( ( 𝑁 mod 𝐷 ) = 𝑅 ↔ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ( ( 𝑧 · 𝐷 ) + 𝑅 ) = 𝑁 ) ) |