Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
2 |
1
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
3 |
2
|
3impa |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
4 |
|
3simpb |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
5 |
|
zmulcl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
6 |
5
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
8 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
9 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
10 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
11 |
|
mulass |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) ) |
12 |
|
mul32 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝐾 ) · 𝑀 ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
13 |
11 12
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
14 |
8 9 10 13
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
15 |
14
|
3coml |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
16 |
15
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
17 |
16
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
18 |
17
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = 𝑁 ↔ ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = 𝑁 ) ) |
19 |
18
|
biimpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝐾 · 𝑀 ) ) = 𝑁 → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = 𝑁 ) ) |
20 |
3 4 7 19
|
dvds1lem |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 · 𝑀 ) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ 𝑁 ) ) |