Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluz2b3 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1 ) ) |
2 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
3 |
|
nn0o1gt2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁 ) ) |
4 |
2 3
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁 ) ) |
5 |
|
eqneqall |
⊢ ( 𝑁 = 1 → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
6 |
5
|
a1d |
⊢ ( 𝑁 = 1 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) ) |
7 |
|
nn0z |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
8 |
|
peano2zm |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
10 |
9
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
11 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
12 |
11
|
mulid2i |
⊢ ( 1 · 2 ) = 2 |
13 |
|
nnre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
14 |
13
|
ltp1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
16 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
17 |
|
peano2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ) |
18 |
17
|
nnred |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
19 |
|
lttr |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) → ( ( 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) → 2 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
20 |
16 13 18 19
|
mp3an2i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) → 2 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
21 |
20
|
expdimp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) → 2 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) |
22 |
15 21
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 2 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
23 |
12 22
|
eqbrtrid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( 1 · 2 ) < ( 𝑁 + 1 ) ) |
24 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 1 ∈ ℝ ) |
25 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
26 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 2 ∈ ℝ+ ) |
28 |
24 25 27
|
ltmuldivd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( 1 · 2 ) < ( 𝑁 + 1 ) ↔ 1 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) ) |
29 |
23 28
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 1 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ) |
30 |
18
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
32 |
24 31
|
posdifd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → ( 1 < ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ↔ 0 < ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) ) |
33 |
29 32
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁 ) → 0 < ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) |
34 |
33
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → 0 < ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) |
35 |
|
elnnz |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ) ) |
36 |
10 34 35
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
37 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
38 |
|
xp1d2m1eqxm1d2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
39 |
37 38
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) = ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ) |
40 |
39
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ↔ ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
43 |
36 42
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |
44 |
43
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) ∧ 2 < 𝑁 ) → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
45 |
44
|
expcom |
⊢ ( 2 < 𝑁 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) ) |
46 |
6 45
|
jaoi |
⊢ ( ( 𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁 ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) ) |
47 |
4 46
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 ≠ 1 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
48 |
47
|
impancom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
49 |
1 48
|
sylbi |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) ) |
50 |
49
|
imp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) / 2 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 − 1 ) / 2 ) ∈ ℕ ) |