Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
o1dif.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
2 |
|
o1dif.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
3 |
|
o1dif.3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
4 |
|
o1sub |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
5 |
4
|
expcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
6 |
3 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
7 |
1 2
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
8 |
7
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
dmmptg |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ → dom ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
11 |
|
o1dm |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) → dom ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ⊆ ℝ ) |
12 |
3 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → dom ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ⊆ ℝ ) |
13 |
10 12
|
eqsstrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ ) |
14 |
|
reex |
⊢ ℝ ∈ V |
15 |
14
|
ssex |
⊢ ( 𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V ) |
16 |
13 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ V ) |
17 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ) |
18 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
19 |
16 1 7 17 18
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
20 |
1 2
|
nncand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = 𝐶 ) |
21 |
20
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) |
22 |
19 21
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) |
23 |
22
|
eleq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∘f − ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
24 |
6 23
|
sylibd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
25 |
|
o1add |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ) |
26 |
25
|
ex |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
27 |
3 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
28 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) |
29 |
16 7 2 18 28
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + 𝐶 ) ) ) |
30 |
1 2
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + 𝐶 ) = 𝐵 ) |
31 |
30
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( ( 𝐵 − 𝐶 ) + 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ) |
32 |
29 31
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ) |
33 |
32
|
eleq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ∘f + ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ) ∈ 𝑂(1) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
34 |
27 33
|
sylibd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) ) ) |
35 |
24 34
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝑂(1) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) ∈ 𝑂(1) ) ) |