Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opprval.1 |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
opprval.2 |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
opprval.3 |
⊢ 𝑂 = ( oppr ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
id |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → 𝑥 = 𝑅 ) |
5 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → ( .r ‘ 𝑥 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) ) |
6 |
5 2
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → ( .r ‘ 𝑥 ) = · ) |
7 |
6
|
tposeqd |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → tpos ( .r ‘ 𝑥 ) = tpos · ) |
8 |
7
|
opeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos ( .r ‘ 𝑥 ) 〉 = 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) |
9 |
4 8
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑅 → ( 𝑥 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos ( .r ‘ 𝑥 ) 〉 ) = ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) ) |
10 |
|
df-oppr |
⊢ oppr = ( 𝑥 ∈ V ↦ ( 𝑥 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos ( .r ‘ 𝑥 ) 〉 ) ) |
11 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) ∈ V |
12 |
9 10 11
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑅 ∈ V → ( oppr ‘ 𝑅 ) = ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) ) |
13 |
|
fvprc |
⊢ ( ¬ 𝑅 ∈ V → ( oppr ‘ 𝑅 ) = ∅ ) |
14 |
|
reldmsets |
⊢ Rel dom sSet |
15 |
14
|
ovprc1 |
⊢ ( ¬ 𝑅 ∈ V → ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) = ∅ ) |
16 |
13 15
|
eqtr4d |
⊢ ( ¬ 𝑅 ∈ V → ( oppr ‘ 𝑅 ) = ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) ) |
17 |
12 16
|
pm2.61i |
⊢ ( oppr ‘ 𝑅 ) = ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) |
18 |
3 17
|
eqtri |
⊢ 𝑂 = ( 𝑅 sSet 〈 ( .r ‘ ndx ) , tpos · 〉 ) |