Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oprabrexex2.1 |
⊢ 𝐴 ∈ V |
2 |
|
oprabrexex2.2 |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝜑 } ∈ V |
3 |
|
df-oprab |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 } = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) } |
4 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
5 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
6 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
7 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
8 |
7
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
9 |
6 8
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
10 |
9
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
11 |
5 10
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
12 |
11
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ) |
13 |
4 12
|
bitr2i |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
14 |
13
|
abbii |
⊢ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 ) } = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) } |
15 |
3 14
|
eqtri |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 } = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) } |
16 |
|
df-oprab |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝜑 } = { 𝑣 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) } |
17 |
16 2
|
eqeltrri |
⊢ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) } ∈ V |
18 |
1 17
|
abrexex2 |
⊢ { 𝑣 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( 𝑣 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∧ 𝜑 ) } ∈ V |
19 |
15 18
|
eqeltri |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 𝜑 } ∈ V |