Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
paddasslem.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
paddasslem.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
paddasslem.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
paddasslem.p |
⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) |
5 |
1 2 3 4
|
paddasslem11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
6 |
5
|
3ad2antr3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
7 |
6
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
8 |
7
|
adantrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
9 |
8
|
a1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 = 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) |
10 |
9
|
exp31 |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑝 = 𝑧 → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
11 |
|
3simpb |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦 ) ) |
12 |
11
|
3anim1i |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ) |
13 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) |
14 |
13
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) |
15 |
1 2 3 4
|
paddasslem12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
16 |
12 14 15
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
17 |
16
|
3exp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
18 |
17
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
19 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) ) |
20 |
19
|
3anim1i |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ) |
21 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ) |
22 |
|
3simpa |
⊢ ( ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) |
23 |
21 22
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
24 |
1 2 3 4
|
paddasslem13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
25 |
20 23 24
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
26 |
25
|
expr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
27 |
26
|
3expd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) → ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
28 |
1 2 3 4
|
paddasslem10 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
29 |
28
|
expr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
30 |
29
|
3expd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑦 ) → ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
31 |
27 30
|
pm2.61d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) |
32 |
31
|
impd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
33 |
32
|
expimpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
34 |
33
|
3exp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦 ) → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) → ( 𝑥 ≠ 𝑦 → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
36 |
18 35
|
pm2.61dne |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ≠ 𝑧 ) → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑝 ≠ 𝑧 → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) ) |
38 |
10 37
|
pm2.61dne |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
39 |
38
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |