Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
paddasslem.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
paddasslem.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
paddasslem.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
paddasslem.p |
⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simpr2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) |
6 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
7 |
6
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
|
simpl22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝑌 ⊆ 𝐴 ) |
9 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝑍 ⊆ 𝐴 ) |
10 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) |
11 |
1 2 3 4
|
elpaddn0 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ↔ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑌 ∃ 𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) |
12 |
7 8 9 10 11
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ↔ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑌 ∃ 𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) |
13 |
5 12
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑌 ∃ 𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) |
14 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
15 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ) |
16 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
17 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝐴 ) |
18 |
16 17
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) |
19 |
|
simp22l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
20 |
|
simp32l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑌 ) |
21 |
|
simp32r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑍 ) |
22 |
19 20 21
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ) |
23 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) |
24 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) |
25 |
23 24
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) |
26 |
1 2 3 4
|
paddasslem14 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
27 |
14 15 18 22 25 26
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |
28 |
27
|
3expia |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) ∧ 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
29 |
28
|
3expd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝑌 ∧ 𝑧 ∈ 𝑍 ) → ( 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) ) |
31 |
30
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑌 ∃ 𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
32 |
31
|
expimpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → ( ( 𝑟 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑌 ∃ 𝑧 ∈ 𝑍 𝑟 ≤ ( 𝑦 ∨ 𝑧 ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) ) |
33 |
13 32
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ) ∧ ( 𝑌 ≠ ∅ ∧ 𝑍 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑥 ∨ 𝑟 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) ) |