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Theorem paddasslem13

Description: Lemma for paddass . The case when r .<_ ( x .\/ y ) . (Unlike the proof in Maeda and Maeda, we don't need x =/= y .) (Contributed by NM, 11-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses paddasslem.l = ( le ‘ 𝐾 )
paddasslem.j = ( join ‘ 𝐾 )
paddasslem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
paddasslem.p + = ( +𝑃𝐾 )
Assertion paddasslem13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddasslem.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 paddasslem.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 paddasslem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 paddasslem.p + = ( +𝑃𝐾 )
5 simpl1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simpl21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑋𝐴 )
7 simpl22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑌𝐴 )
8 3 4 paddssat ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ⊆ 𝐴 )
9 5 6 7 8 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ⊆ 𝐴 )
10 simpl23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑍𝐴 )
11 3 4 sspadd1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 + 𝑌 ) ⊆ 𝐴𝑍𝐴 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )
12 5 9 10 11 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ⊆ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )
13 5 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
14 simprll ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑥𝑋 )
15 simprlr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑦𝑌 )
16 simpl3l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝𝐴 )
17 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
18 17 3 atbase ( 𝑝𝐴𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 16 18 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 6 14 sseldd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑥𝐴 )
21 17 3 atbase ( 𝑥𝐴𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 20 21 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 simpl3r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑟𝐴 )
24 17 3 atbase ( 𝑟𝐴𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 23 24 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 17 2 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑥 𝑟 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 13 22 25 26 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑥 𝑟 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 7 15 sseldd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑦𝐴 )
29 17 3 atbase ( 𝑦𝐴𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 28 29 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 17 2 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑥 𝑦 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 13 22 30 31 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑥 𝑦 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 simprrr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) )
34 17 1 2 latlej1 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑦 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑥 ( 𝑥 𝑦 ) )
35 13 22 30 34 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑥 ( 𝑥 𝑦 ) )
36 simprrl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) )
37 17 1 2 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑥 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑥 𝑦 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 𝑟 ) ( 𝑥 𝑦 ) ) )
38 13 22 25 32 37 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑥 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ) ↔ ( 𝑥 𝑟 ) ( 𝑥 𝑦 ) ) )
39 35 36 38 mpbi2and ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑥 𝑟 ) ( 𝑥 𝑦 ) )
40 17 1 13 19 27 32 33 39 lattrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ( 𝑥 𝑦 ) )
41 1 2 3 4 elpaddri ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴 ) ∧ ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑝 ( 𝑥 𝑦 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
42 13 6 7 14 15 16 40 41 syl322anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + 𝑌 ) )
43 12 42 sseldd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝑧 ) ∧ ( 𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴 ) ∧ ( 𝑝𝐴𝑟𝐴 ) ) ∧ ( ( 𝑥𝑋𝑦𝑌 ) ∧ ( 𝑟 ( 𝑥 𝑦 ) ∧ 𝑝 ( 𝑥 𝑟 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + 𝑍 ) )