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Theorem pjoml3

Description: Variation of orthomodular law. (Contributed by NM, 24-Jun-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion pjoml3 ( ( 𝐴C𝐵C ) → ( 𝐵𝐴 → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sseq2 ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐵𝐴𝐵 ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) )
2 id ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) )
3 fveq2 ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) )
4 3 oveq1d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) )
5 2 4 ineq12d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) )
6 5 eqeq1d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) )
7 1 6 imbi12d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐵𝐴 → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ) )
8 sseq1 ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ↔ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) )
9 oveq2 ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) )
10 9 ineq2d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ) )
11 id ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) )
12 10 11 eqeq12d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) )
13 8 12 imbi12d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ) )
14 ifchhv if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∈ C
15 ifchhv if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∈ C
16 14 15 pjoml3i ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) )
17 7 13 16 dedth2h ( ( 𝐴C𝐵C ) → ( 𝐵𝐴 → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) )