Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sseq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ) |
2 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) |
3 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ) |
4 |
3
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) |
5 |
2 4
|
ineq12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
6 |
5
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ) |
7 |
1 6
|
imbi12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ) ) |
8 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ↔ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) |
10 |
9
|
ineq2d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) ) |
11 |
|
id |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) |
12 |
10 11
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) |
13 |
8 12
|
imbi12d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) ) |
14 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∈ Cℋ |
15 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∈ Cℋ |
16 |
14 15
|
pjoml3i |
⊢ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ⊆ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∩ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) |
17 |
7 13 16
|
dedth2h |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ∩ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∨ℋ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ) |