Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
2 |
|
readdcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
3 |
2
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
repncan3 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) |
5 |
1 3 4
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) |
6 |
|
repncan3 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
7 |
6
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
8 |
7
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 ) |
9 |
8
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) + 𝐵 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ) |
10 |
1
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
11 |
|
rersubcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
16 |
10 13 15
|
addassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) + 𝐵 ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ) |
17 |
5 9 16
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ) |
18 |
|
rersubcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
19 |
3 1 18
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
20 |
12 14
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
readdcan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ) |
22 |
19 20 1 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 + ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) ) |
23 |
17 22
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) −ℝ 𝐶 ) = ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) + 𝐵 ) ) |