Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
2 |
|
rernegcl |
⊢ ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
id |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
5 |
|
renegid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 0 ) |
6 |
|
elre0re |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ ) |
7 |
5 6
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
|
readdid1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + 0 ) = 𝐴 ) |
9 |
|
repncan3 |
⊢ ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = 0 ) |
10 |
1 6 9
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = 0 ) |
11 |
10
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝐴 + 0 ) ) |
12 |
|
readdid2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 + 𝐴 ) = 𝐴 ) |
13 |
8 11 12
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) = ( 0 + 𝐴 ) ) |
14 |
|
recn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
15 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
16 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
14 15 16
|
addassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) ) ) |
18 |
5
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + 𝐴 ) = ( 0 + 𝐴 ) ) |
19 |
13 17 18
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + 𝐴 ) ) |
20 |
|
readdcan |
⊢ ( ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + 𝐴 ) ↔ ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
21 |
20
|
biimpa |
⊢ ( ( ( ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) ∧ ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) + 𝐴 ) ) → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
22 |
3 4 7 19 21
|
syl31anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 −ℝ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |