Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sge0pnffsumgt.k |
⊢ Ⅎ 𝑘 𝜑 |
2 |
|
sge0pnffsumgt.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
sge0pnffsumgt.b |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
4 |
|
sge0pnffsumgt.p |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ) = +∞ ) |
5 |
|
sge0pnffsumgt.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
6 |
|
icossicc |
⊢ ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ( 0 [,] +∞ ) |
7 |
6 3
|
sseldi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) ) |
8 |
1 2 7 4 5
|
sge0pnffigtmpt |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) ) → 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) ) |
10 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑘 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) |
11 |
1 10
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑘 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) |
12 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑥 ∈ Fin ) |
13 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → 𝑥 ∈ Fin ) |
14 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥 ) → 𝜑 ) |
15 |
|
elpwinss |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑥 ⊆ 𝐴 ) |
16 |
15
|
sselda |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥 ) → 𝑘 ∈ 𝐴 ) |
17 |
16
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥 ) → 𝑘 ∈ 𝐴 ) |
18 |
14 17 3
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
19 |
11 13 18
|
sge0fsummptf |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) = Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) ) → ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) = Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) |
21 |
9 20
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) ) → 𝑌 < Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) |
22 |
21
|
ex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) → 𝑌 < Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) ) |
23 |
22
|
reximdva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) ) |
24 |
8 23
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < Σ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ) |