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Theorem sge0pnffsumgt

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +oo , then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0pnffsumgt.k 𝑘 𝜑
sge0pnffsumgt.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
sge0pnffsumgt.b ( ( 𝜑𝑘𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
sge0pnffsumgt.p ( 𝜑 → ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝐴𝐵 ) ) = +∞ )
sge0pnffsumgt.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
Assertion sge0pnffsumgt ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < Σ 𝑘𝑥 𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0pnffsumgt.k 𝑘 𝜑
2 sge0pnffsumgt.a ( 𝜑𝐴𝑉 )
3 sge0pnffsumgt.b ( ( 𝜑𝑘𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
4 sge0pnffsumgt.p ( 𝜑 → ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝐴𝐵 ) ) = +∞ )
5 sge0pnffsumgt.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
6 icossicc ( 0 [,) +∞ ) ⊆ ( 0 [,] +∞ )
7 6 3 sselid ( ( 𝜑𝑘𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
8 1 2 7 4 5 sge0pnffigtmpt ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) )
9 simpr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) ) → 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) )
10 nfv 𝑘 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin )
11 1 10 nfan 𝑘 ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) )
12 elinel2 ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑥 ∈ Fin )
13 12 adantl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → 𝑥 ∈ Fin )
14 simpll ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘𝑥 ) → 𝜑 )
15 elpwinss ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) → 𝑥𝐴 )
16 15 sselda ( ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ∧ 𝑘𝑥 ) → 𝑘𝐴 )
17 16 adantll ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘𝑥 ) → 𝑘𝐴 )
18 14 17 3 syl2anc ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑘𝑥 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
19 11 13 18 sge0fsummptf ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) = Σ 𝑘𝑥 𝐵 )
20 19 adantr ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) ) → ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) = Σ 𝑘𝑥 𝐵 )
21 9 20 breqtrd ( ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) ∧ 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) ) → 𝑌 < Σ 𝑘𝑥 𝐵 )
22 21 ex ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) ) → ( 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) → 𝑌 < Σ 𝑘𝑥 𝐵 ) )
23 22 reximdva ( 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < ( Σ^ ‘ ( 𝑘𝑥𝐵 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < Σ 𝑘𝑥 𝐵 ) )
24 8 23 mpd ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝒫 𝐴 ∩ Fin ) 𝑌 < Σ 𝑘𝑥 𝐵 )