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Theorem sge0pnffsumgt

Description: If the sum of nonnegative extended reals is +oo , then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0pnffsumgt.k k φ
sge0pnffsumgt.a φ A V
sge0pnffsumgt.b φ k A B 0 +∞
sge0pnffsumgt.p φ sum^ k A B = +∞
sge0pnffsumgt.y φ Y
Assertion sge0pnffsumgt φ x 𝒫 A Fin Y < k x B

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0pnffsumgt.k k φ
2 sge0pnffsumgt.a φ A V
3 sge0pnffsumgt.b φ k A B 0 +∞
4 sge0pnffsumgt.p φ sum^ k A B = +∞
5 sge0pnffsumgt.y φ Y
6 icossicc 0 +∞ 0 +∞
7 6 3 sseldi φ k A B 0 +∞
8 1 2 7 4 5 sge0pnffigtmpt φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B
9 simpr φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B Y < sum^ k x B
10 nfv k x 𝒫 A Fin
11 1 10 nfan k φ x 𝒫 A Fin
12 elinel2 x 𝒫 A Fin x Fin
13 12 adantl φ x 𝒫 A Fin x Fin
14 simpll φ x 𝒫 A Fin k x φ
15 elpwinss x 𝒫 A Fin x A
16 15 sselda x 𝒫 A Fin k x k A
17 16 adantll φ x 𝒫 A Fin k x k A
18 14 17 3 syl2anc φ x 𝒫 A Fin k x B 0 +∞
19 11 13 18 sge0fsummptf φ x 𝒫 A Fin sum^ k x B = k x B
20 19 adantr φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B sum^ k x B = k x B
21 9 20 breqtrd φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B Y < k x B
22 21 ex φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B Y < k x B
23 22 reximdva φ x 𝒫 A Fin Y < sum^ k x B x 𝒫 A Fin Y < k x B
24 8 23 mpd φ x 𝒫 A Fin Y < k x B