Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
2 |
1
|
sincld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
3 |
|
cosf |
⊢ cos : ℂ ⟶ ℂ |
4 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → cos : ℂ ⟶ ℂ ) |
5 |
4
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
6 |
2 5
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
7 |
1
|
coscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
8 |
|
sinf |
⊢ sin : ℂ ⟶ ℂ |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → sin : ℂ ⟶ ℂ ) |
10 |
9
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
11 |
7 10
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
12 |
6 11 6
|
ppncand |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) + ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) − ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) + ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
13 |
|
sinadd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) + ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
14 |
|
sinsub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) − ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + ( sin ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) + ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) − ( ( cos ‘ 𝐴 ) · ( sin ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
16 |
6
|
2timesd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) + ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
17 |
12 15 16
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + ( sin ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( sin ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + ( sin ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) / 2 ) = ( ( 2 · ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) / 2 ) ) |
19 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 2 ∈ ℂ ) |
20 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 2 ≠ 0 ) |
22 |
6 19 21
|
divcan3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 2 · ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) / 2 ) = ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) ) |
23 |
18 22
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ 𝐴 ) · ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( sin ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) + ( sin ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) / 2 ) ) |