Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srapart.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) ) |
2 |
|
srapart.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑊 ) ) |
3 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ∈ V |
4 |
|
fvex |
⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) ∈ V |
5 |
|
ipid |
⊢ ·𝑖 = Slot ( ·𝑖 ‘ ndx ) |
6 |
5
|
setsid |
⊢ ( ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ∈ V ∧ ( .r ‘ 𝑊 ) ∈ V ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑖 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) ) |
7 |
3 4 6
|
mp2an |
⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑖 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
8 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) ) |
9 |
|
sraval |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
10 |
2 9
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
11 |
8 10
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
12 |
11
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ·𝑖 ‘ 𝐴 ) = ( ·𝑖 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) ) |
13 |
7 12
|
eqtr4id |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑖 ‘ 𝐴 ) ) |
14 |
5
|
str0 |
⊢ ∅ = ( ·𝑖 ‘ ∅ ) |
15 |
|
fvprc |
⊢ ( ¬ 𝑊 ∈ V → ( .r ‘ 𝑊 ) = ∅ ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ∅ ) |
17 |
|
fv2prc |
⊢ ( ¬ 𝑊 ∈ V → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ∅ ) |
18 |
1 17
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ∅ ) |
19 |
18
|
fveq2d |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ·𝑖 ‘ 𝐴 ) = ( ·𝑖 ‘ ∅ ) ) |
20 |
14 16 19
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑖 ‘ 𝐴 ) ) |
21 |
13 20
|
pm2.61ian |
⊢ ( 𝜑 → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑖 ‘ 𝐴 ) ) |