Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
stirlinglem2.1 |
⊢ 𝐴 = ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ! ‘ 𝑛 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑛 ) ) · ( ( 𝑛 / e ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
2 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
3 |
|
faccl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
4 |
|
nnrp |
⊢ ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
5 |
2 3 4
|
3syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
6 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+ ) |
8 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
9 |
7 8
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
10 |
9
|
rpsqrtcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
11 |
|
epr |
⊢ e ∈ ℝ+ |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+ ) |
13 |
8 12
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 / e ) ∈ ℝ+ ) |
14 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
13 14
|
rpexpcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |
16 |
10 15
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
17 |
5 16
|
rpdivcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
18 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ! ‘ 𝑛 ) = ( ! ‘ 𝑘 ) ) |
19 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 2 · 𝑛 ) = ( 2 · 𝑘 ) ) |
20 |
19
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( √ ‘ ( 2 · 𝑛 ) ) = ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) ) |
21 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 / e ) = ( 𝑘 / e ) ) |
22 |
|
id |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘 ) |
23 |
21 22
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑛 / e ) ↑ 𝑛 ) = ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) |
24 |
20 23
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑛 ) ) · ( ( 𝑛 / e ) ↑ 𝑛 ) ) = ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) |
25 |
18 24
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( ! ‘ 𝑛 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑛 ) ) · ( ( 𝑛 / e ) ↑ 𝑛 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
26 |
25
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ ↦ ( ( ! ‘ 𝑛 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑛 ) ) · ( ( 𝑛 / e ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
27 |
1 26
|
eqtri |
⊢ 𝐴 = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) |
28 |
27
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) → 𝐴 = ( 𝑘 ∈ ℕ ↦ ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
29 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → 𝑘 = 𝑁 ) |
30 |
29
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( ! ‘ 𝑘 ) = ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
31 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( 2 · 𝑘 ) = ( 2 · 𝑁 ) ) |
32 |
31
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) = ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) ) |
33 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( 𝑘 / e ) = ( 𝑁 / e ) ) |
34 |
33 29
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) = ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) |
35 |
32 34
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) = ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
36 |
30 35
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) ∧ 𝑘 = 𝑁 ) → ( ( ! ‘ 𝑘 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑘 ) ) · ( ( 𝑘 / e ) ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
37 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
38 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
39 |
28 36 37 38
|
fvmptd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
40 |
17 39
|
mpdan |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( √ ‘ ( 2 · 𝑁 ) ) · ( ( 𝑁 / e ) ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
41 |
40 17
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝐴 ‘ 𝑁 ) ∈ ℝ+ ) |