Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
negcl |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → - 𝐶 ∈ ℂ ) |
2 |
|
addcn2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ - 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) |
3 |
1 2
|
syl3an3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) |
4 |
|
negcl |
⊢ ( 𝑣 ∈ ℂ → - 𝑣 ∈ ℂ ) |
5 |
|
fvoveq1 |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) ) |
6 |
5
|
breq1d |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) |
7 |
6
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) ) |
8 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( 𝑢 + 𝑤 ) = ( 𝑢 + - 𝑣 ) ) |
9 |
8
|
fvoveq1d |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) ) |
10 |
9
|
breq1d |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) |
11 |
7 10
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑤 = - 𝑣 → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
12 |
11
|
rspcv |
⊢ ( - 𝑣 ∈ ℂ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
13 |
4 12
|
syl |
⊢ ( 𝑣 ∈ ℂ → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
14 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
15 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝑣 ∈ ℂ ) |
16 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
17 |
15 16
|
neg2subd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( - 𝑣 − - 𝐶 ) = ( 𝐶 − 𝑣 ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑣 ) ) ) |
19 |
16 15
|
abssubd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( 𝐶 − 𝑣 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) ) |
20 |
18 19
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) = ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) ) |
21 |
20
|
breq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) |
22 |
21
|
anbi2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) ) ) |
23 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝑢 + - 𝑣 ) = ( 𝑢 − 𝑣 ) ) |
24 |
23
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝑢 + - 𝑣 ) = ( 𝑢 − 𝑣 ) ) |
25 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
26 |
25 16
|
negsubd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 + - 𝐶 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) |
27 |
24 26
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) = ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
28 |
27
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
29 |
28
|
breq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) |
30 |
22 29
|
imbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( - 𝑣 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + - 𝑣 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
31 |
14 30
|
sylibd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
32 |
31
|
ralrimdva |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
33 |
32
|
ralimdva |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
34 |
33
|
reximdv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
35 |
34
|
reximdv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑤 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑤 − - 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 + 𝑤 ) − ( 𝐵 + - 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) ) |
36 |
3 35
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑧 ∈ ℝ+ ∀ 𝑢 ∈ ℂ ∀ 𝑣 ∈ ℂ ( ( ( abs ‘ ( 𝑢 − 𝐵 ) ) < 𝑦 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐶 ) ) < 𝑧 ) → ( abs ‘ ( ( 𝑢 − 𝑣 ) − ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) < 𝐴 ) ) |