Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgoldbachgtd.o |
⊢ 𝑂 = { 𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧 } |
2 |
|
tgoldbachgtd.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂 ) |
3 |
|
tgoldbachgtd.1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ≤ 𝑁 ) |
4 |
2
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → 𝑁 ∈ 𝑂 ) |
5 |
3
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ( ; 1 0 ↑ ; 2 7 ) ≤ 𝑁 ) |
6 |
|
elmapi |
⊢ ( ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) → ℎ : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
7 |
6
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ℎ : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
8 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) → 𝑘 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
9 |
8
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → 𝑘 : ℕ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
10 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) |
11 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) = ( 𝑘 ‘ 𝑛 ) ) |
12 |
11
|
breq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↔ ( 𝑘 ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) ) |
13 |
12
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) |
14 |
10 13
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) |
15 |
14
|
r19.21bi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( 𝑘 ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ) |
16 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) |
17 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ℎ ‘ 𝑚 ) = ( ℎ ‘ 𝑛 ) ) |
18 |
17
|
breq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ↔ ( ℎ ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) ) |
19 |
18
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ↔ ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) |
20 |
16 19
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ∀ 𝑛 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) |
21 |
20
|
r19.21bi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ) → ( ℎ ‘ 𝑛 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ) |
22 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) |
23 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ) |
24 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ) |
25 |
24
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) |
26 |
23 25
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) ) |
27 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( - 𝑁 · 𝑥 ) = ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) |
28 |
27
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) ) |
29 |
28
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) = ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) ) ) |
30 |
26 29
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) ) ) ) |
31 |
30
|
cbvitgv |
⊢ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 = ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) ) ) d 𝑦 |
32 |
22 31
|
breqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑦 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑦 ) ) ) ) d 𝑦 ) |
33 |
1 4 5 7 9 15 21 32
|
tgoldbachgtda |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ) ∧ ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) |
34 |
1 2 3
|
hgt749d |
⊢ ( 𝜑 → ∃ ℎ ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ∃ 𝑘 ∈ ( ( 0 [,) +∞ ) ↑m ℕ ) ( ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( 𝑘 ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 0 _ 7 _ 9 _ 9 _ 5 5 ) ∧ ∀ 𝑚 ∈ ℕ ( ℎ ‘ 𝑚 ) ≤ ( 1 . _ 4 _ 1 4 ) ∧ ( ( 0 . _ 0 _ 0 _ 0 _ 4 _ 2 _ 2 _ 4 8 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ≤ ∫ ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( ( Λ ∘f · ℎ ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) · ( ( ( ( Λ ∘f · 𝑘 ) vts 𝑁 ) ‘ 𝑥 ) ↑ 2 ) ) · ( exp ‘ ( ( i · ( 2 · π ) ) · ( - 𝑁 · 𝑥 ) ) ) ) d 𝑥 ) ) |
35 |
33 34
|
r19.29vva |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ♯ ‘ ( ( 𝑂 ∩ ℙ ) ( repr ‘ 3 ) 𝑁 ) ) ) |