Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tgpmulg.j |
⊢ 𝐽 = ( TopOpen ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tgpmulg.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
tgpmulg.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 0 → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 0 · 𝑥 ) ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
6 |
3 5 2
|
mulg0 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ( 0 · 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
7 |
4 6
|
sylan9eq |
⊢ ( ( 𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
8 |
7
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝑛 = 0 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
9 |
8
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ) |
10 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 𝑘 · 𝑥 ) ) |
11 |
10
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ) |
12 |
11
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑘 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ) |
13 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) |
14 |
13
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑛 · 𝑥 ) = ( 𝑁 · 𝑥 ) ) |
17 |
16
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑛 = 𝑁 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑛 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ) |
19 |
1 3
|
tmdtopon |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ) |
20 |
|
tmdmnd |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd ) |
21 |
3 5
|
mndidcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ Mnd → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → ( 0g ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ) |
23 |
19 19 22
|
cnmptc |
⊢ ( 𝐺 ∈ TopMnd → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
24 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) = ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) ) |
25 |
24
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) ) |
26 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
27 |
3 2 26
|
mulgnn0p1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) |
28 |
20 27
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) |
29 |
28
|
ad4ant124 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) = ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) |
30 |
29
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑦 ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) ) |
31 |
25 30
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) ) |
32 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → 𝐺 ∈ TopMnd ) |
33 |
32 19
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝐵 ) ) |
34 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑘 · 𝑥 ) = ( 𝑘 · 𝑦 ) ) |
35 |
34
|
cbvmptv |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑦 ) ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
37 |
35 36
|
eqeltrrid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑦 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
38 |
33
|
cnmptid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
39 |
1 26 32 33 37 38
|
cnmpt1plusg |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑦 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
40 |
31 39
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑘 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( ( 𝑘 + 1 ) · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |
41 |
9 12 15 18 23 40
|
nn0indd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐽 ) ) |